MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofsubeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofsubeq0 10772
Description: Function analogue of subeq0 10058. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ofsubeq0 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹𝑓𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Proof of Theorem ofsubeq0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1054 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 ffn 5843 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 simp3 1055 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
5 ffn 5843 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
7 simp1 1053 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴𝑉)
8 inidm 3687 . . . . . 6 (𝐴𝐴) = 𝐴
9 eqidd 2515 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
10 eqidd 2515 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
113, 6, 7, 7, 8, 9, 10ofval 6680 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
12 c0ex 9789 . . . . . . 7 0 ∈ V
1312fvconst2 6251 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
1413adantl 480 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
1511, 14eqeq12d 2529 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = 0))
161ffvelrnda 6151 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
174ffvelrnda 6151 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1816, 17subeq0ad 10153 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
1915, 18bitrd 266 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
2019ralbidva 2872 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
213, 6, 7, 7, 8offn 6682 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹𝑓𝐺) Fn 𝐴)
2212fconst 5888 . . . 4 (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
23 ffn 5843 . . . 4 ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
2422, 23ax-mp 5 . . 3 (𝐴 × {0}) Fn 𝐴
25 eqfnfv 6103 . . 3 (((𝐹𝑓𝐺) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 × {0}) Fn 𝐴) → ((𝐹𝑓𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥)))
2621, 24, 25sylancl 692 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹𝑓𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥)))
27 eqfnfv 6103 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
283, 6, 27syl2anc 690 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
2920, 26, 283bitr4d 298 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹𝑓𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  wral 2800  {csn 4028   × cxp 4930   Fn wfn 5684  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6426  𝑓 cof 6669  cc 9689  0cc0 9691  cmin 10017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-ltxr 9834  df-sub 10019
This theorem is referenced by:  psrridm  19129  dv11cn  23443  coeeulem  23668  plydiveu  23741  facth  23749  quotcan  23752  plyexmo  23756  mpaaeu  36636
  Copyright terms: Public domain W3C validator