Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dv11cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dv11cn 23809
 Description: Two functions defined on a ball whose derivatives are the same and which are equal at any given point 𝐶 in the ball must be equal everywhere. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dv11cn.x 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
dv11cn.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dv11cn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
dv11cn.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.d (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
dv11cn.e (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
dv11cn.c (𝜑𝐶𝑋)
dv11cn.p (𝜑 → (𝐹𝐶) = (𝐺𝐶))
Assertion
Ref Expression
dv11cn (𝜑𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem dv11cn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dv11cn.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
2 ffn 6083 . . . . 5 (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝑋)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
4 dv11cn.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
5 ffn 6083 . . . . 5 (𝐺:𝑋⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝑋)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
7 dv11cn.x . . . . . 6 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
8 ovex 6718 . . . . . 6 (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ V
97, 8eqeltri 2726 . . . . 5 𝑋 ∈ V
109a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ V)
11 inidm 3855 . . . 4 (𝑋𝑋) = 𝑋
123, 6, 10, 10, 11offn 6950 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓𝐺) Fn 𝑋)
13 0cn 10070 . . . 4 0 ∈ ℂ
14 fnconstg 6131 . . . 4 (0 ∈ ℂ → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
1513, 14mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
16 subcl 10318 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
1817, 1, 4, 10, 10, 11off 6954 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑓𝐺):𝑋⟶ℂ)
1918ffvelrnda 6399 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
20 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
21 dv11cn.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝑋)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶𝑋)
2320, 22jca 553 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝑋𝐶𝑋))
24 cnxmet 22623 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
26 dv11cn.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
27 dv11cn.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
28 blssm 22270 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
307, 29syl5eqss 3682 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
311ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
324ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
331feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
344feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
3510, 31, 32, 33, 34offval2 6956 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑓𝐺) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))))
3635oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝐹𝑓𝐺)) = (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))))
37 cnelprrecn 10067 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
39 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
4033oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥))))
41 dvfcn 23717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
42 dv11cn.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
4342feq2d 6069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
4441, 43mpbii 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
4544feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
4640, 45eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
47 dv11cn.e . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
4834oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐺) = (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥))))
4947, 45, 483eqtr3rd 2694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
5038, 31, 39, 46, 32, 39, 49dvmptsub 23775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))) = (𝑥𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))))
5144ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
5251subidd 10418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) = 0)
5352mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
54 fconstmpt 5197 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 × {0}) = (𝑥𝑋 ↦ 0)
5553, 54syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑋 × {0}))
5636, 50, 553eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℂ D (𝐹𝑓𝐺)) = (𝑋 × {0}))
5756dmeqd 5358 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹𝑓𝐺)) = dom (𝑋 × {0}))
58 snnzg 4339 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℂ → {0} ≠ ∅)
59 dmxp 5376 . . . . . . . . . . . 12 ({0} ≠ ∅ → dom (𝑋 × {0}) = 𝑋)
6013, 58, 59mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 × {0}) = 𝑋
6157, 60syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹𝑓𝐺)) = 𝑋)
62 eqimss2 3691 . . . . . . . . . 10 (dom (ℂ D (𝐹𝑓𝐺)) = 𝑋𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹𝑓𝐺)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹𝑓𝐺)))
64 0red 10079 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6556fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ D (𝐹𝑓𝐺))‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
66 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
6766fvconst2 6510 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
6865, 67sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → ((ℂ D (𝐹𝑓𝐺))‘𝑥) = 0)
6968abs00bd 14075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹𝑓𝐺))‘𝑥)) = 0)
70 0le0 11148 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
7169, 70syl6eqbr 4724 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹𝑓𝐺))‘𝑥)) ≤ 0)
7230, 18, 26, 27, 7, 63, 64, 71dvlipcn 23802 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝐶𝑋)) → (abs‘(((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) − ((𝐹𝑓𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥𝐶))))
7323, 72syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) − ((𝐹𝑓𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥𝐶))))
7435fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝑓𝐺)‘𝐶) = ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))‘𝐶))
75 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐶 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
76 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐶 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝐶))
7775, 76oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)))
78 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
79 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)) ∈ V
8077, 78, 79fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)))
8121, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)))
821, 21ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
83 dv11cn.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝐶) = (𝐺𝐶))
8482, 83subeq0bd 10494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)) = 0)
8574, 81, 843eqtrd 2689 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑓𝐺)‘𝐶) = 0)
8685adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑓𝐺)‘𝐶) = 0)
8786oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) − ((𝐹𝑓𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) − 0))
8819subid1d 10419 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) − 0) = ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥))
8987, 88eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) − ((𝐹𝑓𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥))
9089fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) − ((𝐹𝑓𝐺)‘𝐶))) = (abs‘((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥)))
9130sselda 3636 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
9230, 21sseldd 3637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
9491, 93subcld 10430 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝐶) ∈ ℂ)
9594abscld 14219 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝑥𝐶)) ∈ ℝ)
9695recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝑥𝐶)) ∈ ℂ)
9796mul02d 10272 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (0 · (abs‘(𝑥𝐶))) = 0)
9873, 90, 973brtr3d 4716 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥)) ≤ 0)
9919absge0d 14227 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥)))
10019abscld 14219 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
101 0re 10078 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
102 letri3 10161 . . . . . . 7 (((abs‘((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥)))))
103100, 101, 102sylancl 695 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥)))))
10498, 99, 103mpbir2and 977 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥)) = 0)
10519, 104abs00d 14229 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = 0)
10667adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
107105, 106eqtr4d 2688 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
10812, 15, 107eqfnfvd 6354 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓𝐺) = (𝑋 × {0}))
109 ofsubeq0 11055 . . 3 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ) → ((𝐹𝑓𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
11010, 1, 4, 109syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑓𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
111108, 110mpbid 222 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143   ∘ ccom 5147   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979  ℝ*cxr 10111   ≤ cle 10113   − cmin 10304  abscabs 14018  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781   D cdv 23672 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676 This theorem is referenced by:  logtayl  24451  binomcxplemnotnn0  38872
 Copyright terms: Public domain W3C validator