Theorem op2ndd 7700

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2ndd	⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem op2ndd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6670	. 2 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nd 7698	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵
5	1, 4	syl6eq 2872	1 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd ‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494  ⟨cop 4573  ‘cfv 6355  2^nd c2nd 7688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363  df-2nd 7690

This theorem is referenced by:  2nd2val  7718  xp2nd  7722  sbcopeq1a  7748  csbopeq1a  7749  eloprabi  7761  mpomptsx  7762  dmmpossx  7764  fmpox  7765  ovmptss  7788  fmpoco  7790  df2nd2  7794  frxp  7820  xporderlem  7821  fnwelem  7825  fimaproj  7829  xpf1o  8679  mapunen  8686  xpwdomg  9049  hsmexlem2  9849  nqereu  10351  uzrdgfni  13327  fsumcom2  15129  fprodcom2  15338  qredeu  16002  comfeq  16976  isfuncd  17135  cofucl  17158  funcres2b  17167  funcpropd  17170  xpcco2nd  17435  xpccatid  17438  1stf2  17443  2ndf2  17446  1stfcl  17447  2ndfcl  17448  prf2fval  17451  prfcl  17453  evlf2  17468  evlfcl  17472  curf12  17477  curf1cl  17478  curf2  17479  curfcl  17482  hof2fval  17505  hofcl  17509  txbas  22175  cnmpt2nd  22277  txhmeo  22411  ptuncnv  22415  ptunhmeo  22416  xpstopnlem1  22417  xkohmeo  22423  prdstmdd  22732  ucnimalem  22889  fmucndlem  22900  fsum2cn  23479  ovoliunlem1  24103  2sqreuop  26038  2sqreuopnn  26039  2sqreuoplt  26040  2sqreuopltb  26041  2sqreuopnnlt  26042  2sqreuopnnltb  26043  wlkl0  28146  fcnvgreu  30418  fsumiunle  30545  gsummpt2co  30686  esumiun  31353  eulerpartlemgs2  31638  hgt750lemb  31927  satfv1  32610  satefvfmla0  32665  msubrsub  32773  msubco  32778  msubvrs  32807  filnetlem4  33729  finixpnum  34892  poimirlem4  34911  poimirlem15  34922  poimirlem20  34927  poimirlem26  34933  heicant  34942  heiborlem4  35107  heiborlem6  35109  dicelvalN  38329  rmxypairf1o  39557  unxpwdom3  39744  fgraphxp  39860  elcnvlem  40010  dvnprodlem2  42281  etransclem46  42614  ovnsubaddlem1  42901  uspgrsprf  44070  uspgrsprf1  44071  dmmpossx2  44434  lmod1zr  44597  rrx2plordisom  44759