Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  op2ndd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op2ndd 7221
 Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1 𝐴 ∈ V
op1st.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
op2ndd (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem op2ndd
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . 2 (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd𝐶) = (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
2 op1st.1 . . 3 𝐴 ∈ V
3 op1st.2 . . 3 𝐵 ∈ V
42, 3op2nd 7219 . 2 (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵
51, 4syl6eq 2701 1 (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (2nd𝐶) = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  ⟨cop 4216  ‘cfv 5926  2nd c2nd 7209 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-2nd 7211 This theorem is referenced by:  2nd2val  7239  xp2nd  7243  sbcopeq1a  7264  csbopeq1a  7265  eloprabi  7277  mpt2mptsx  7278  dmmpt2ssx  7280  fmpt2x  7281  ovmptss  7303  fmpt2co  7305  df2nd2  7309  frxp  7332  xporderlem  7333  fnwelem  7337  xpf1o  8163  mapunen  8170  xpwdomg  8531  hsmexlem2  9287  nqereu  9789  uzrdgfni  12797  fsumcom2  14549  fsumcom2OLD  14550  fprodcom2  14758  fprodcom2OLD  14759  qredeu  15419  comfeq  16413  isfuncd  16572  cofucl  16595  funcres2b  16604  funcpropd  16607  xpcco2nd  16872  xpccatid  16875  1stf2  16880  2ndf2  16883  1stfcl  16884  2ndfcl  16885  prf2fval  16888  prfcl  16890  evlf2  16905  evlfcl  16909  curf12  16914  curf1cl  16915  curf2  16916  curfcl  16919  hof2fval  16942  hofcl  16946  txbas  21418  cnmpt2nd  21520  txhmeo  21654  ptuncnv  21658  ptunhmeo  21659  xpstopnlem1  21660  xkohmeo  21666  prdstmdd  21974  ucnimalem  22131  fmucndlem  22142  fsum2cn  22721  ovoliunlem1  23316  fcnvgreu  29600  fsumiunle  29703  gsummpt2co  29908  fimaproj  30028  esumiun  30284  eulerpartlemgs2  30570  hgt750lemb  30862  msubrsub  31549  msubco  31554  msubvrs  31583  filnetlem4  32501  finixpnum  33524  poimirlem4  33543  poimirlem15  33554  poimirlem20  33559  poimirlem26  33565  heicant  33574  heiborlem4  33743  heiborlem6  33745  dicelvalN  36784  rmxypairf1o  37793  unxpwdom3  37982  fgraphxp  38106  elcnvlem  38224  dvnprodlem2  40480  etransclem46  40815  ovnsubaddlem1  41105  uspgrsprf  42079  uspgrsprf1  42080  dmmpt2ssx2  42440  lmod1zr  42607
 Copyright terms: Public domain W3C validator