Theorem ply1idvr1 19865

Description: The identity of a polynomial ring expressed as power of the polynomial variable. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1idvr1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1idvr1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1idvr1.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1idvr1.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ply1idvr1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))

Proof of Theorem ply1idvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 18768	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
4		ply1idvr1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		ply1idvr1.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
7		ply1idvr1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
8		ply1idvr1.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
10	1, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ply1scltm 19853	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)))
11	3, 10	mpdan 705	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)))
12	4	ply1sca 19825	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
13	12	fveq2d 6356	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
14	13	oveq1d 6828	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)))
15	4	ply1lmod 19824	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
16		0nn0 11499	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
18	4, 5, 7, 8, 17	ply1moncl 19843	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
19	16, 18	mpan2 709	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
20		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
21		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
22	17, 20, 6, 21	lmodvs1 19093	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (0 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)) = (0 ↑ 𝑋))
23	15, 19, 22	syl2anc 696	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)) = (0 ↑ 𝑋))
24	11, 14, 23	3eqtrrd 2799	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))
25		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
26	4, 9, 2, 25	ply1scl1 19864	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
27	24, 26	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  ℕ₀cn0 11484  Basecbs 16059  Scalarcsca 16146   ·_𝑠 cvsca 16147  ._gcmg 17741  mulGrpcmgp 18689  1_rcur 18701  Ringcrg 18747  LModclmod 19065  algSccascl 19513  var₁cv1 19748  Poly₁cpl1 19749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-ple 16163  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-ascl 19516  df-psr 19558  df-mvr 19559  df-mpl 19560  df-opsr 19562  df-psr1 19752  df-vr1 19753  df-ply1 19754

This theorem is referenced by:  decpmatid  20777  pmatcollpwscmatlem1  20796  idpm2idmp  20808