Theorem pmtrcnel 30733

Description: Composing a permutation 𝐹 with a transposition which results in moving at least one less point. Here the set of points moved by a permutation 𝐹 is expressed as dom (𝐹 ∖ I ). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrcnel.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
pmtrcnel.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrcnel.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
pmtrcnel.j	⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
pmtrcnel.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
pmtrcnel.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pmtrcnel.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
pmtrcnel	⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))

Proof of Theorem pmtrcnel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvdco 18573	. . . . . 6 ⊢ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I ))
2		pmtrcnel.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		difss 4108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
4		dmss 5771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
6		pmtrcnel.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
7	5, 6	sseldi 3965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom 𝐹)
8		pmtrcnel.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		pmtrcnel.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
10		pmtrcnel.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
11	9, 10	symgbasf1o 18503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
12		f1of 6615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
13	8, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
14	13	fdmd 6523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
15	7, 14	eleqtrd 2915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
16		pmtrcnel.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
17	13, 15	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ 𝐷)
18	16, 17	eqeltrid 2917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
19	15, 18	prssd 4755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
20	13	ffnd 6515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
21		fnelnfp 6939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼))
22	21	biimpa 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
23	20, 15, 6, 22	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
24	23	necomd 3071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ (𝐹‘𝐼))
25	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐹‘𝐼))
26	24, 25	neeqtrrd 3090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
27		pr2nelem 9430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
28	15, 18, 26, 27	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
29		pmtrcnel.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
30	29	pmtrmvd 18584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
31	2, 19, 28, 30	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
32	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
33		f1omvdmvd 18571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
34	32, 6, 33	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
35	16, 34	eqeltrid 2917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
36	35	eldifad 3948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
37	6, 36	prssd 4755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
38	31, 37	eqsstrd 4005	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
39		ssequn1 4156	. . . . . . 7 ⊢ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I )) = dom (𝐹 ∖ I ))
40	38, 39	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I )) = dom (𝐹 ∖ I ))
41	1, 40	sseqtrid 4019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
42	41	sselda 3967	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
43		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
44		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ran 𝑇 = ran 𝑇
45	29, 44	pmtrrn 18585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇)
46	2, 19, 28, 45	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇)
47	29, 44	pmtrff1o 18591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷)
49		f1oco 6637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
50	48, 32, 49	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
51		f1ofn 6616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷)
53	13, 15	fvco3d 6761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘(𝐹‘𝐼)))
54	25	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) = 𝐽)
55	54	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘(𝐹‘𝐼)) = ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽))
56	29	pmtrprfv2 30732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽)) → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
57	2, 15, 18, 26, 56	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
58	53, 55, 57	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = 𝐼)
59		nne 3020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼 ↔ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = 𝐼)
60	58, 59	sylibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼)
61		fnelnfp 6939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ↔ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼))
62	61	notbid 320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ↔ ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼))
63	62	biimpar 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
64	52, 15, 60, 63	syl21anc 835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
65	64	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
66	43, 65	eqneltrd 2932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
67	66	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )))
68	67	necon2ad 3031	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) → 𝑥 ≠ 𝐼))
69	68	imp 409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ≠ 𝐼)
70		eldifsn 4719	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ 𝑥 ≠ 𝐼))
71	42, 69, 70	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
72	71	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) → 𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼})))
73	72	ssrdv 3973	1 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3933   ∪ cun 3934   ⊆ wss 3936  {csn 4567  {cpr 4569   class class class wbr 5066   I cid 5459  dom cdm 5555  ran crn 5556   ∘ ccom 5559   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  –1-1-onto→wf1o 6354  ‘cfv 6355  2_oc2o 8096   ≈ cen 8506  Basecbs 16483  SymGrpcsymg 18495  pmTrspcpmtr 18569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-tset 16584  df-efmnd 18034  df-symg 18496  df-pmtr 18570

This theorem is referenced by:  pmtrcnelor  30735