MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsval2 16065
Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsbasmpt2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt2.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt2.r (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
prdsdsval2.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsdsval2.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsdsval2.e 𝐸 = (dist‘𝑅)
prdsdsval2.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
prdsdsval2 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 prdsbasmpt2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbasmpt2.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt2.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsbasmpt2.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
6 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥𝐼𝑅) = (𝑥𝐼𝑅)
76fnmpt 5977 . . . 4 (∀𝑥𝐼 𝑅𝑋 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
85, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
9 prdsdsval2.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
10 prdsdsval2.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
11 prdsdsval2.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
121, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11prdsdsval 16059 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
13 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝑦)
14 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥dist
15 nffvmpt1 6156 . . . . . . . . 9 𝑥((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦)
1614, 15nffv 6155 . . . . . . . 8 𝑥(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))
17 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥(𝐺𝑦)
1813, 16, 17nfov 6630 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))
19 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑦((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥))
20 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦) = ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))
2120fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦)) = (dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)))
22 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
23 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑥))
2421, 22, 23oveq123d 6625 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦)) = ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)))
2518, 19, 24cbvmpt 4709 . . . . . 6 (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)))
26 eqidd 2622 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 = 𝐼)
276fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
2827fveq2d 6152 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → (dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = (dist‘𝑅))
29 prdsdsval2.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (dist‘𝑅)
3028, 29syl6eqr 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → (dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = 𝐸)
3130oveqd 6621 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)))
3231ralimiaa 2946 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐼 𝑅𝑋 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)))
335, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)))
34 mpteq12 4696 . . . . . . 7 ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))))
3526, 33, 34syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))))
3625, 35syl5eq 2667 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))))
3736rneqd 5313 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) = ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))))
3837uneq1d 3744 . . 3 (𝜑 → (ran (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) ∪ {0}) = (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}))
3938supeq1d 8296 . 2 (𝜑 → sup((ran (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
4012, 39eqtrd 2655 1 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cun 3553  {csn 4148  cmpt 4673  ran crn 5075   Fn wfn 5842  cfv 5847  (class class class)co 6604  supcsup 8290  0cc0 9880  *cxr 10017   < clt 10018  Basecbs 15781  distcds 15871  Xscprds 16027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-prds 16029
This theorem is referenced by:  prdsdsval3  16066  ressprdsds  22086
  Copyright terms: Public domain W3C validator