MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsval2 16267
Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsbasmpt2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt2.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt2.r (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
prdsdsval2.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsdsval2.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsdsval2.e 𝐸 = (dist‘𝑅)
prdsdsval2.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
prdsdsval2 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 prdsbasmpt2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbasmpt2.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt2.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsbasmpt2.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
6 eqid 2724 . . . . 5 (𝑥𝐼𝑅) = (𝑥𝐼𝑅)
76fnmpt 6133 . . . 4 (∀𝑥𝐼 𝑅𝑋 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
85, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
9 prdsdsval2.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
10 prdsdsval2.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
11 prdsdsval2.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
121, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11prdsdsval 16261 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
13 nfcv 2866 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝑦)
14 nfcv 2866 . . . . . . . . 9 𝑥dist
15 nffvmpt1 6312 . . . . . . . . 9 𝑥((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦)
1614, 15nffv 6311 . . . . . . . 8 𝑥(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))
17 nfcv 2866 . . . . . . . 8 𝑥(𝐺𝑦)
1813, 16, 17nfov 6791 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))
19 nfcv 2866 . . . . . . 7 𝑦((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥))
20 fveq2 6304 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦) = ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))
2120fveq2d 6308 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦)) = (dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)))
22 fveq2 6304 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
23 fveq2 6304 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑥))
2421, 22, 23oveq123d 6786 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦)) = ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)))
2518, 19, 24cbvmpt 4857 . . . . . 6 (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)))
26 eqidd 2725 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 = 𝐼)
276fvmpt2 6405 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
2827fveq2d 6308 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → (dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = (dist‘𝑅))
29 prdsdsval2.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (dist‘𝑅)
3028, 29syl6eqr 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → (dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = 𝐸)
3130oveqd 6782 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)))
3231ralimiaa 3053 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐼 𝑅𝑋 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)))
335, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)))
34 mpteq12 4844 . . . . . . 7 ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))))
3526, 33, 34syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))))
3625, 35syl5eq 2770 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))))
3736rneqd 5460 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) = ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))))
3837uneq1d 3874 . . 3 (𝜑 → (ran (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) ∪ {0}) = (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}))
3938supeq1d 8468 . 2 (𝜑 → sup((ran (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
4012, 39eqtrd 2758 1 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  cun 3678  {csn 4285  cmpt 4837  ran crn 5219   Fn wfn 5996  cfv 6001  (class class class)co 6765  supcsup 8462  0cc0 10049  *cxr 10186   < clt 10187  Basecbs 15980  distcds 16073  Xscprds 16229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-hom 16089  df-cco 16090  df-prds 16231
This theorem is referenced by:  prdsdsval3  16268  ressprdsds  22298
  Copyright terms: Public domain W3C validator