Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsval3 16061
 Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsbasmpt2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt2.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt2.r (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
prdsdsval2.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsdsval2.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsdsval3.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
prdsdsval3.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))
prdsdsval3.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
prdsdsval3 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval3
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 prdsbasmpt2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbasmpt2.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt2.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsbasmpt2.r . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
6 prdsdsval2.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
7 prdsdsval2.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
8 eqid 2626 . . 3 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
9 prdsdsval3.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9prdsdsval2 16060 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
11 eqidd 2627 . . . . . 6 (𝜑𝐼 = 𝐼)
12 prdsdsval3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
131, 2, 3, 4, 5, 12, 6prdsbascl 16059 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
141, 2, 3, 4, 5, 12, 7prdsbascl 16059 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
15 prdsdsval3.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))
1615oveqi 6618 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))(𝐺𝑥))
17 ovres 6754 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐹𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥)))
1816, 17syl5eq 2672 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥)))
1918ex 450 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐾 → ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))))
2019ral2imi 2947 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾 → (∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ∈ 𝐾 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))))
2113, 14, 20sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥)))
22 mpteq12 4701 . . . . . 6 ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))))
2311, 21, 22syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))))
2423rneqd 5317 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) = ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))))
2524uneq1d 3749 . . 3 (𝜑 → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))) ∪ {0}))
2625supeq1d 8297 . 2 (𝜑 → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
2710, 26eqtr4d 2663 1 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ∀wral 2912   ∪ cun 3558  {csn 4153   ↦ cmpt 4678   × cxp 5077  ran crn 5080   ↾ cres 5081  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  supcsup 8291  0cc0 9881  ℝ*cxr 10018   < clt 10019  Basecbs 15776  distcds 15866  Xscprds 16022 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-hom 15882  df-cco 15883  df-prds 16024 This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  22078  prdsmet  22080  prdsbl  22201  prdsbnd  33191  rrnequiv  33233
 Copyright terms: Public domain W3C validator