Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsms 22246
 Description: The indexed product structure is a metric space when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prdsxms.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
Assertion
Ref Expression
prdsms ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ MetSp)

Proof of Theorem prdsms
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 msxms 22169 . . . . 5 (𝑥 ∈ MetSp → 𝑥 ∈ ∞MetSp)
21ssriv 3587 . . . 4 MetSp ⊆ ∞MetSp
3 fss 6013 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶MetSp ∧ MetSp ⊆ ∞MetSp) → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
42, 3mpan2 706 . . 3 (𝑅:𝐼⟶MetSp → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
5 prdsxms.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
65prdsxms 22245 . . 3 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)
74, 6syl3an3 1358 . 2 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)
8 simp1 1059 . . . 4 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑆𝑊)
9 simp2 1060 . . . 4 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝐼 ∈ Fin)
10 eqid 2621 . . . 4 (dist‘𝑌) = (dist‘𝑌)
11 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
12 simp3 1061 . . . 4 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑅:𝐼⟶MetSp)
135, 8, 9, 10, 11, 12prdsmslem1 22242 . . 3 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → (dist‘𝑌) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
14 ssid 3603 . . 3 (Base‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑌)
15 metres2 22078 . . 3 (((dist‘𝑌) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)) ∧ (Base‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑌)) → ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
1613, 14, 15sylancl 693 . 2 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
17 eqid 2621 . . 3 (TopOpen‘𝑌) = (TopOpen‘𝑌)
18 eqid 2621 . . 3 ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) = ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
1917, 11, 18isms 22164 . 2 (𝑌 ∈ MetSp ↔ (𝑌 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌))))
207, 16, 19sylanbrc 697 1 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ MetSp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555   × cxp 5072   ↾ cres 5076  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  Basecbs 15781  distcds 15871  TopOpenctopn 16003  Xscprds 16027  Metcme 19651  ∞MetSpcxme 22032  MetSpcmt 22033 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12124  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-xms 22035  df-ms 22036 This theorem is referenced by:  pwsms  22248  xpsms  22250
 Copyright terms: Public domain W3C validator