MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswccat 13326
Description: The concatenation of two "repeated symbol words" with the same symbol is again a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswccat ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem repswccat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repswlen 13317 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
213adant3 1073 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
3 repswlen 13317 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑀 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
433adant2 1072 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
52, 4oveq12d 6542 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
65oveq2d 6540 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
7 simp1 1053 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑆𝑉)
87adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆𝑉)
9 simpl2 1057 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
102oveq2d 6540 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
1110eleq2d 2669 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
1211biimpa 499 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
138, 9, 123jca 1234 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
1413adantlr 746 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
15 repswsymb 13315 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
1614, 15syl 17 . . . 4 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
177ad2antrr 757 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆𝑉)
18 simpll3 1094 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
192, 4jca 552 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀))
20 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)))
2120anim1i 589 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
22 nn0z 11230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
23 nn0z 11230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
2422, 23anim12i 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2524ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
26 fzocatel 12351 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))
2721, 25, 26syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))
2827exp31 627 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
29283adant1 1071 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
30 oveq12 6533 . . . . . . . . . . 11 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
3130oveq2d 6540 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
3231eleq2d 2669 . . . . . . . . 9 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))))
33 oveq2 6532 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
3433eleq2d 2669 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
3534notbid 306 . . . . . . . . . . 11 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
3635adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
37 oveq2 6532 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝑥𝑁))
3837eleq1d 2668 . . . . . . . . . . 11 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → ((𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
3938adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
4036, 39imbi12d 332 . . . . . . . . 9 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
4132, 40imbi12d 332 . . . . . . . 8 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀)))))
4229, 41syl5ibr 234 . . . . . . 7 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)))))
4319, 42mpcom 37 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))))
4443imp31 446 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))
45 repswsymb 13315 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
4617, 18, 44, 45syl3anc 1317 . . . 4 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
4716, 46ifeqda 4067 . . 3 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = 𝑆)
486, 47mpteq12dva 4653 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
49 ovex 6552 . . . 4 (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
50 ovex 6552 . . . 4 (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V
5149, 50pm3.2i 469 . . 3 ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V)
52 ccatfval 13154 . . 3 (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
5351, 52mp1i 13 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
54 nn0addcl 11172 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
55543adant1 1071 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
56 reps 13311 . . 3 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
577, 55, 56syl2anc 690 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
5848, 53, 573eqtr4d 2650 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  ifcif 4032  cmpt 4634  cfv 5787  (class class class)co 6524  0cc0 9789   + caddc 9792  cmin 10114  0cn0 11136  cz 11207  ..^cfzo 12286  #chash 12931   ++ cconcat 13091   repeatS creps 13096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-hash 12932  df-concat 13099  df-reps 13104
This theorem is referenced by:  repswcshw  13352  repsw2  13484  repsw3  13485
  Copyright terms: Public domain W3C validator