MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswccat 13513
Description: The concatenation of two "repeated symbol words" with the same symbol is again a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswccat ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem repswccat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repswlen 13504 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
213adant3 1079 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
3 repswlen 13504 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑀 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
433adant2 1078 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
52, 4oveq12d 6653 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
65oveq2d 6651 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
7 simp1 1059 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑆𝑉)
87adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆𝑉)
9 simpl2 1063 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
102oveq2d 6651 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
1110eleq2d 2685 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
1211biimpa 501 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
138, 9, 123jca 1240 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
1413adantlr 750 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
15 repswsymb 13502 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
1614, 15syl 17 . . . 4 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
177ad2antrr 761 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆𝑉)
18 simpll3 1100 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
192, 4jca 554 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀))
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)))
2120anim1i 591 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
22 nn0z 11385 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
23 nn0z 11385 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
2422, 23anim12i 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2524ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
26 fzocatel 12515 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))
2721, 25, 26syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))
2827exp31 629 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
29283adant1 1077 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
30 oveq12 6644 . . . . . . . . . . 11 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
3130oveq2d 6651 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
3231eleq2d 2685 . . . . . . . . 9 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))))
33 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
3433eleq2d 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
3534notbid 308 . . . . . . . . . . 11 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
37 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝑥𝑁))
3837eleq1d 2684 . . . . . . . . . . 11 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → ((𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
3938adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
4036, 39imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
4132, 40imbi12d 334 . . . . . . . 8 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀)))))
4229, 41syl5ibr 236 . . . . . . 7 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)))))
4319, 42mpcom 38 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))))
4443imp31 448 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))
45 repswsymb 13502 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
4617, 18, 44, 45syl3anc 1324 . . . 4 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
4716, 46ifeqda 4112 . . 3 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = 𝑆)
486, 47mpteq12dva 4723 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
49 ovex 6663 . . . 4 (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
50 ovex 6663 . . . 4 (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V
5149, 50pm3.2i 471 . . 3 ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V)
52 ccatfval 13341 . . 3 (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
5351, 52mp1i 13 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
54 nn0addcl 11313 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
55543adant1 1077 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
56 reps 13498 . . 3 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
577, 55, 56syl2anc 692 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
5848, 53, 573eqtr4d 2664 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  ifcif 4077  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921   + caddc 9924  cmin 10251  0cn0 11277  cz 11362  ..^cfzo 12449  #chash 13100   ++ cconcat 13276   repeatS creps 13281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-concat 13284  df-reps 13289
This theorem is referenced by:  repswcshw  13539  repsw2  13674  repsw3  13675
  Copyright terms: Public domain W3C validator