MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswrevw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswrevw 13330
Description: The reverse of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswrevw ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswrevw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repswlen 13320 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
21oveq2d 6543 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
32mpteq1d 4660 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
4 simpll 785 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆𝑉)
5 simplr 787 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
61adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
76oveq1d 6542 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) = (𝑁 − 1))
87oveq1d 6542 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) = ((𝑁 − 1) − 𝑥))
9 ubmelm1fzo 12385 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁))
10 elfzoelz 12294 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
11 nn0cn 11149 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
1211ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13 zcn 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
1413adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
15 1cnd 9912 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 1 ∈ ℂ)
1612, 14, 15sub32d 10275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁𝑥) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑥))
1716eleq1d 2671 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
1817biimpd 217 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
1918ex 448 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))))
2010, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))))
219, 20mpid 42 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
2221impcom 444 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))
238, 22eqeltrd 2687 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))
24 repswsymb 13318 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥)) = 𝑆)
254, 5, 23, 24syl3anc 1317 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥)) = 𝑆)
2625mpteq2dva 4666 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
273, 26eqtrd 2643 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
28 ovex 6555 . . 3 (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
29 revval 13306 . . 3 ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
3028, 29mp1i 13 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
31 reps 13314 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
3227, 30, 313eqtr4d 2653 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793  cmin 10117  0cn0 11139  cz 11210  ..^cfzo 12289  #chash 12934  reversecreverse 13098   repeatS creps 13099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-reverse 13106  df-reps 13107
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator