Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmfsupp 41920
Description: A mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is finitely supported if the function is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppfi.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
rmfsupp (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) finSupp (0g𝑀))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem rmfsupp
StepHypRef Expression
1 funmpt 5914 . . 3 Fun (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣)))
21a1i 11 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → Fun (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))))
3 id 22 . . . 4 (𝐴 finSupp (0g𝑀) → 𝐴 finSupp (0g𝑀))
43fsuppimpd 8267 . . 3 (𝐴 finSupp (0g𝑀) → (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
5 rmsuppfi.r . . . 4 𝑅 = (Base‘𝑀)
65rmsuppfi 41919 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
74, 6syl3an3 1359 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
8 mptexg 6469 . . . . 5 (𝑉𝑋 → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∈ V)
983ad2ant2 1081 . . . 4 ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∈ V)
1093ad2ant1 1080 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∈ V)
11 fvex 6188 . . 3 (0g𝑀) ∈ V
12 isfsupp 8264 . . 3 (((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∈ V ∧ (0g𝑀) ∈ V) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
1310, 11, 12sylancl 693 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
142, 7, 13mpbir2and 956 1 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) finSupp (0g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195   class class class wbr 4644  cmpt 4720  Fun wfun 5870  cfv 5876  (class class class)co 6635   supp csupp 7280  𝑚 cmap 7842  Fincfn 7940   finSupp cfsupp 8260  Basecbs 15838  .rcmulr 15923  0gc0g 16081  Ringcrg 18528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-mgp 18471  df-ring 18530
This theorem is referenced by:  lincscmcl  41986
  Copyright terms: Public domain W3C validator