Theorem rmfsupp 44442

Description: A mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is finitely supported if the function is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rmsuppfi.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
rmfsupp	⊢ (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘𝑀)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) finSupp (0g‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem rmfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6393	. . 3 ⊢ Fun (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘𝑀)) → Fun (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))))
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 finSupp (0g‘𝑀) → 𝐴 finSupp (0g‘𝑀))
4	3	fsuppimpd 8840	. . 3 ⊢ (𝐴 finSupp (0g‘𝑀) → (𝐴 supp (0g‘𝑀)) ∈ Fin)
5		rmsuppfi.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑀)
6	5	rmsuppfi 44441	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ (𝐴 supp (0g‘𝑀)) ∈ Fin) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) ∈ Fin)
7	4, 6	syl3an3 1161	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘𝑀)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) ∈ Fin)
8		mptexg 6984	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑋 → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) ∈ V)
9	8	3ad2ant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) ∈ V)
10	9	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘𝑀)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) ∈ V)
11		fvex 6683	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) ∈ V
12		isfsupp 8837	. . 3 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) ∈ V ∧ (0g‘𝑀) ∈ V) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) finSupp (0g‘𝑀) ↔ (Fun (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) ∈ Fin)))
13	10, 11, 12	sylancl 588	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘𝑀)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) finSupp (0g‘𝑀) ↔ (Fun (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) supp (0g‘𝑀)) ∈ Fin)))
14	2, 7, 13	mpbir2and 711	1 ⊢ (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘𝑀)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝐶(.r‘𝑀)(𝐴‘𝑣))) finSupp (0g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  Fun wfun 6349  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   supp csupp 7830   ↑_m cmap 8406  Fincfn 8509   finSupp cfsupp 8833  Basecbs 16483  ._rcmulr 16566  0_gc0g 16713  Ringcrg 19297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-mgp 19240  df-ring 19299

This theorem is referenced by:  lincscmcl  44507