MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funmpt 5884
Description: A function in maps-to notation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
funmpt Fun (𝑥𝐴𝐵)

Proof of Theorem funmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funopab4 5883 . 2 Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐴𝑦 = 𝐵)}
2 df-mpt 4675 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐴𝑦 = 𝐵)}
32funeqi 5868 . 2 (Fun (𝑥𝐴𝐵) ↔ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐴𝑦 = 𝐵)})
41, 3mpbir 221 1 Fun (𝑥𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {copab 4672  cmpt 4673  Fun wfun 5841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-fun 5849
This theorem is referenced by:  funmpt2  5885  resfunexg  6433  mptexg  6438  mptexgf  6439  brtpos2  7303  tposfun  7313  mptfi  8209  sniffsupp  8259  cantnfrescl  8517  cantnflem1  8530  r0weon  8779  axcc2lem  9202  mptct  9304  negfi  10915  mptnn0fsupp  12737  ccatalpha  13314  mreacs  16240  acsfn  16241  isofval  16338  lubfun  16901  glbfun  16914  acsficl2d  17097  pmtrsn  17860  gsum2dlem2  18291  gsum2d  18292  dprdfinv  18339  dprdfadd  18340  dmdprdsplitlem  18357  dpjidcl  18378  mptscmfsupp0  18849  00lsp  18900  psrass1lem  19296  psrlidm  19322  psrridm  19323  psrass1  19324  psrass23l  19327  psrcom  19328  psrass23  19329  mplsubrg  19359  mplmon  19382  mplmonmul  19383  mplcoe1  19384  mplcoe5  19387  mplbas2  19389  evlslem2  19431  evlslem6  19432  psropprmul  19527  coe1mul2  19558  pjpm  19971  frlmphllem  20038  frlmphl  20039  uvcff  20049  uvcresum  20051  oftpos  20177  pmatcollpw2lem  20501  tgrest  20873  cmpfi  21121  1stcrestlem  21165  ptcnplem  21334  xkoinjcn  21400  symgtgp  21815  eltsms  21846  rrxmval  23096  tdeglem4  23724  plypf1  23872  tayl0  24020  taylthlem1  24031  xrlimcnp  24595  abrexexd  29191  fmptcof2  29296  ofpreima  29305  funcnvmptOLD  29307  mptctf  29335  psgnfzto1stlem  29632  locfinreflem  29686  measdivcstOLD  30065  sxbrsigalem0  30111  sitgf  30187  nosino  31572  imageval  31676  poimirlem30  33068  poimir  33071  choicefi  38863  fourierdlem80  39707  sge0tsms  39901  scmsuppss  41438  rmfsupp  41440  scmfsupp  41444  fdivval  41622
  Copyright terms: Public domain W3C validator