Theorem smfsup 43162

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsup.n	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
smfsup.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfsup.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsup.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsup.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsup.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsup.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsup.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfsup	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsup

Dummy variables 𝑚 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfsup.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		smfsup.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfsup.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfsup.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		smfsup.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
6		nfcv 2976	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
7		nfcv 2976	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
8		smfsup.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9		nfcv 2976	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
10	8, 9	nffv 6673	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5816	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑚)
12	7, 11	nfiin 4943	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
13		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦
14		nfcv 2976	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
15		nfcv 2976	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
16	10, 15	nffv 6673	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
17		nfcv 2976	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
18		nfcv 2976	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
19	16, 17, 18	nfbr 5106	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧
20	7, 19	nfralw 3224	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧
21	14, 20	nfrex 3308	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧
22		nfcv 2976	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚dom (𝐹‘𝑛)
23		smfsup.n	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
24		nfcv 2976	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
25	23, 24	nffv 6673	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑚)
26	25	nfdm 5816	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛dom (𝐹‘𝑚)
27		fveq2 6663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
28	27	dmeqd 5767	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑚))
29	22, 26, 28	cbviin 4955	. . . . 5 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚))
31		fveq2 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑤))
32	31	breq1d 5069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
33	32	ralbidv 3196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
34		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦
35		nfcv 2976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑤
36	25, 35	nffv 6673	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
37		nfcv 2976	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ≤
38		nfcv 2976	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑦
39	36, 37, 38	nfbr 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦
40	27	fveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
41	40	breq1d 5069	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
42	34, 39, 41	cbvralw 3438	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦)
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
44	33, 43	bitrd 281	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
45	44	rexbidv 3296	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
46		breq2 5063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
47	46	ralbidv 3196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
48	47	cbvrexvw 3447	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧)
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
50	45, 49	bitrd 281	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
51	6, 12, 13, 21, 30, 50	cbvrabcsfw 3917	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧}
52	5, 51	eqtri 2843	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧}
53		smfsup.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
54		nfrab1 3383	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
55	5, 54	nfcxfr 2974	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
56		nfcv 2976	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤𝐷
57		nfcv 2976	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )
58	7, 16	nfmpt 5156	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
59	58	nfrn 5817	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
60		nfcv 2976	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
61	59, 14, 60	nfsup 8908	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < )
62	31	mpteq2dv 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
63		nfcv 2976	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑛)‘𝑤)
64	63, 36, 40	cbvmpt 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
66	62, 65	eqtrd 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
67	66	rneqd 5801	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
68	67	supeq1d 8903	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
69	55, 56, 57, 61, 68	cbvmptf 5158	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
70	53, 69	eqtri 2843	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
71	1, 2, 3, 4, 52, 70	smfsuplem3 43161	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2960  ∀wral 3137  ∃wrex 3138  {crab 3141  ∩ ciin 4913   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139  dom cdm 5548  ran crn 5549  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  supcsup 8897  ℝcr 10529   < clt 10668   ≤ cle 10669  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  SAlgcsalg 42667  SMblFncsmblfn 43051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-inf2 9097  ax-cc 9850  ax-ac2 9878  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-omul 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-acn 9364  df-ac 9535  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11632  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-fl 13159  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-top 21497  df-bases 21549  df-salg 42668  df-salgen 42672  df-smblfn 43052

This theorem is referenced by:  smfsupmpt  43163  smfsupxr  43164