MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snunioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snunioc 12249
Description: The closure of the open end of a left-open real interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
snunioc ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem snunioc
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccid 12169 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
213ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
32uneq1d 3749 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐴) ∪ (𝐴(,]𝐵)) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,]𝐵)))
4 simp1 1059 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2 1060 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 xrleid 11934 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
763ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐴)
8 simp3 1061 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
9 df-icc 12131 . . . 4 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
10 df-ioc 12129 . . . 4 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
11 xrltnle 10056 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝐴))
12 xrletr 11940 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝐴𝐴𝐵) → 𝑤𝐵))
13 simprr 795 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴 < 𝑤)) → 𝐴 < 𝑤)
14 simpl1 1062 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴 < 𝑤)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15 simpl3 1064 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
16 xrltle 11933 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
1714, 15, 16syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴 < 𝑤)) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
1813, 17mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴 < 𝑤)) → 𝐴𝑤)
1918ex 450 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐴𝐴 < 𝑤) → 𝐴𝑤))
209, 10, 11, 9, 12, 19ixxun 12140 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴𝐵)) → ((𝐴[,]𝐴) ∪ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
214, 4, 5, 7, 8, 20syl32anc 1331 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐴) ∪ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
223, 21eqtr3d 2657 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cun 3557  {csn 4153   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  *cxr 10024   < clt 10025  cle 10026  (,]cioc 12125  [,]cicc 12127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-ioc 12129  df-icc 12131
This theorem is referenced by:  xrge0iifcnv  29779  xrge0iifiso  29781  xrge0iifhom  29783
  Copyright terms: Public domain W3C validator