MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem4 17937
Description: Lemma for sylow1 17939. The stabilizer subgroup of any element of 𝑆 is at most 𝑃𝑁 in size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (#‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (#‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
sylow1lem.m = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b (𝜑𝐵𝑆)
sylow1lem4.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
Assertion
Ref Expression
sylow1lem4 (𝜑 → (#‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,   ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,𝑠)   + (𝑔)   (𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,𝑠)   𝑆(𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem4
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1lem4.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑆)
2 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝐵 → (#‘𝑠) = (#‘𝐵))
32eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝐵 → ((#‘𝑠) = (𝑃𝑁) ↔ (#‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
4 sylow1lem.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (#‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
53, 4elrab2 3348 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (#‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
61, 5sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (#‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
76simprd 479 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑃𝑁))
8 sylow1.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 prmnn 15312 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
11 sylow1.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1210, 11nnexpcld 12970 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
137, 12eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
1413nnne0d 11009 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐵) ≠ 0)
15 hasheq0 13094 . . . . . . . 8 (𝐵𝑆 → ((#‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
1615necon3bid 2834 . . . . . . 7 (𝐵𝑆 → ((#‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
171, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1814, 17mpbid 222 . . . . 5 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
19 n0 3907 . . . . 5 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎𝐵)
2018, 19sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎 𝑎𝐵)
211adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐵𝑆)
22 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑎𝐵)
23 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑎 → (𝑏 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑎))
24 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))
25 ovex 6632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 + 𝑎) ∈ V
2623, 24, 25fvmpt 6239 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝐵 → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
2722, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
28 ovex 6632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 + 𝑧) ∈ V
2928, 24fnmpti 5979 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵
30 fnfvelrn 6312 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵𝑎𝐵) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
3129, 22, 30sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
3227, 31eqeltrrd 2699 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
33 sylow1lem4.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
34 ssrab2 3666 . . . . . . . . . . . 12 {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵} ⊆ 𝑋
3533, 34eqsstri 3614 . . . . . . . . . . 11 𝐻𝑋
36 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑏𝐻)
3735, 36sseldi 3581 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑏𝑋)
381ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝐵𝑆)
39 mptexg 6438 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑆 → (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
40 rnexg 7045 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V → ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
42 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
43 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → 𝑥 = 𝑏)
4443oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑧))
4542, 44mpteq12dv 4693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
4645rneqd 5313 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
47 sylow1lem.m . . . . . . . . . . 11 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
4846, 47ovmpt2ga 6743 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝑋𝐵𝑆 ∧ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V) → (𝑏 𝐵) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
4937, 38, 41, 48syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 𝐵) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
5032, 49eleqtrrd 2701 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ (𝑏 𝐵))
51 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑏 → (𝑢 𝐵) = (𝑏 𝐵))
5251eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑏 → ((𝑢 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝑏 𝐵) = 𝐵))
5352, 33elrab2 3348 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐻 ↔ (𝑏𝑋 ∧ (𝑏 𝐵) = 𝐵))
5453simprbi 480 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐻 → (𝑏 𝐵) = 𝐵)
5554adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 𝐵) = 𝐵)
5650, 55eleqtrd 2700 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵)
5756ex 450 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑏𝐻 → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵))
58 sylow1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
5958ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝐺 ∈ Grp)
60 simprl 793 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑏𝐻)
6135, 60sseldi 3581 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑏𝑋)
62 simprr 795 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑐𝐻)
6335, 62sseldi 3581 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑐𝑋)
646simpld 475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
6564elpwid 4141 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑋)
6665sselda 3583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝑋)
6766adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑎𝑋)
68 sylow1.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
69 sylow1lem.a . . . . . . . . 9 + = (+g𝐺)
7068, 69grprcan 17376 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋𝑎𝑋)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
7159, 61, 63, 67, 70syl13anc 1325 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
7271ex 450 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑏𝐻𝑐𝐻) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐)))
7357, 72dom2d 7940 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐵𝑆𝐻𝐵))
7421, 73mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐻𝐵)
7520, 74exlimddv 1860 . . 3 (𝜑𝐻𝐵)
76 sylow1.f . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
77 ssfi 8124 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
7876, 35, 77sylancl 693 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
79 ssfi 8124 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑋) → 𝐵 ∈ Fin)
8076, 65, 79syl2anc 692 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
81 hashdom 13108 . . . 4 ((𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐻) ≤ (#‘𝐵) ↔ 𝐻𝐵))
8278, 80, 81syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((#‘𝐻) ≤ (#‘𝐵) ↔ 𝐻𝐵))
8375, 82mpbird 247 . 2 (𝜑 → (#‘𝐻) ≤ (#‘𝐵))
8483, 7breqtrd 4639 1 (𝜑 → (#‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {cpr 4150   class class class wbr 4613  {copab 4672  cmpt 4673  ran crn 5075   Fn wfn 5842  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  cdom 7897  Fincfn 7899  0cc0 9880  cle 10019  cn 10964  0cn0 11236  cexp 12800  #chash 13057  cdvds 14907  cprime 15309  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Grpcgrp 17343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-prm 15310  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346
This theorem is referenced by:  sylow1lem5  17938
  Copyright terms: Public domain W3C validator