Theorem nnexpcld 13607

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 13443	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  bitsp1  15780  bitsfzolem  15783  bitsfzo  15784  bitsmod  15785  bitsfi  15786  bitscmp  15787  bitsinv1lem  15790  bitsinv1  15791  2ebits  15796  bitsinvp1  15798  sadcaddlem  15806  sadadd3  15810  sadaddlem  15815  sadasslem  15819  bitsres  15822  bitsuz  15823  bitsshft  15824  smumullem  15841  smumul  15842  rplpwr  15907  rppwr  15908  pclem  16175  pcprendvds2  16178  pcpre1  16179  pcpremul  16180  pcdvdsb  16205  pcidlem  16208  pcid  16209  pcdvdstr  16212  pcgcd1  16213  pcprmpw2  16218  pcaddlem  16224  pcadd  16225  pcfaclem  16234  pcfac  16235  pcbc  16236  oddprmdvds  16239  prmpwdvds  16240  pockthlem  16241  2expltfac  16426  pgpfi1  18720  sylow1lem1  18723  sylow1lem3  18725  sylow1lem4  18726  sylow1lem5  18727  pgpfi  18730  gexexlem  18972  ablfac1lem  19190  ablfac1b  19192  ablfac1eu  19195  aalioulem2  24922  aalioulem5  24925  aaliou3lem9  24939  isppw2  25692  sgmppw  25773  fsumvma2  25790  pclogsum  25791  chpchtsum  25795  logfacubnd  25797  bposlem1  25860  bposlem5  25864  gausslemma2d  25950  lgseisen  25955  chebbnd1lem1  26045  rpvmasumlem  26063  dchrisum0flblem1  26084  dchrisum0flblem2  26085  ostth2lem2  26210  ostth2lem3  26211  oddpwdc  31612  eulerpartlemgh  31636  expgcd  39232  nn0expgcd  39233  numdenexp  39235  3cubeslem3r  39333  3cubes  39336  jm3.1lem3  39665  inductionexd  40554  stoweidlem25  42359  stoweidlem45  42379  wallispi2lem1  42405  ovnsubaddlem1  42901  ovolval5lem2  42984  fmtnoodd  43744  fmtnof1  43746  fmtnosqrt  43750  fmtnorec4  43760  odz2prm2pw  43774  fmtnoprmfac1lem  43775  fmtnoprmfac1  43776  fmtnoprmfac2lem1  43777  fmtnoprmfac2  43778  2pwp1prm  43800  lighneallem1  43819  proththdlem  43827  proththd  43828  pw2m1lepw2m1  44624  nnpw2even  44638  logbpw2m1  44676  nnpw2pmod  44692  nnpw2p  44695  nnolog2flm1  44699  dignn0flhalflem1  44724