Theorem nnexpcld 13070

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 12913	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 694	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2030  (class class class)co 6690  ℕcn 11058  ℕ₀cn0 11330  ↑cexp 12900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901

This theorem is referenced by:  bitsp1  15200  bitsfzolem  15203  bitsfzo  15204  bitsmod  15205  bitsfi  15206  bitscmp  15207  bitsinv1lem  15210  bitsinv1  15211  2ebits  15216  bitsinvp1  15218  sadcaddlem  15226  sadadd3  15230  sadaddlem  15235  sadasslem  15239  bitsres  15242  bitsuz  15243  bitsshft  15244  smumullem  15261  smumul  15262  rplpwr  15323  rppwr  15324  pclem  15590  pcprendvds2  15593  pcpre1  15594  pcpremul  15595  pcdvdsb  15620  pcidlem  15623  pcid  15624  pcdvdstr  15627  pcgcd1  15628  pcprmpw2  15633  pcaddlem  15639  pcadd  15640  pcfaclem  15649  pcfac  15650  pcbc  15651  oddprmdvds  15654  prmpwdvds  15655  pockthlem  15656  2expltfac  15846  pgpfi1  18056  sylow1lem1  18059  sylow1lem3  18061  sylow1lem4  18062  sylow1lem5  18063  pgpfi  18066  gexexlem  18301  ablfac1lem  18513  ablfac1b  18515  ablfac1eu  18518  aalioulem2  24133  aalioulem5  24136  aaliou3lem9  24150  isppw2  24886  sgmppw  24967  fsumvma2  24984  pclogsum  24985  chpchtsum  24989  logfacubnd  24991  bposlem1  25054  bposlem5  25058  gausslemma2d  25144  lgseisen  25149  chebbnd1lem1  25203  rpvmasumlem  25221  dchrisum0flblem1  25242  dchrisum0flblem2  25243  ostth2lem2  25368  ostth2lem3  25369  oddpwdc  30544  eulerpartlemgh  30568  jm3.1lem3  37903  inductionexd  38770  stoweidlem25  40560  stoweidlem45  40580  wallispi2lem1  40606  ovnsubaddlem1  41105  ovolval5lem2  41188  fmtnoodd  41770  fmtnof1  41772  fmtnosqrt  41776  fmtnorec4  41786  odz2prm2pw  41800  fmtnoprmfac1lem  41801  fmtnoprmfac1  41802  fmtnoprmfac2lem1  41803  fmtnoprmfac2  41804  2pwp1prm  41828  lighneallem1  41847  proththdlem  41855  proththd  41856  pw2m1lepw2m1  42635  nnpw2even  42648  logbpw2m1  42686  nnpw2pmod  42702  nnpw2p  42705  nnolog2flm1  42709  dignn0flhalflem1  42734