Theorem tmdmulg 22700

Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpmulg.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
tgpmulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tmdmulg	⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tmdmulg

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7163	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
2		tgpmulg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		tgpmulg.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulg0 18231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑥) = (0g‘𝐺))
6	1, 5	sylan9eq 2876	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑥) = (0g‘𝐺))
7	6	mpteq2dva 5161	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)))
8	7	eleq1d 2897	. 2 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
9		oveq1 7163	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
10	9	mpteq2dv 5162	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)))
11	10	eleq1d 2897	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
12		oveq1 7163	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑥))
13	12	mpteq2dv 5162	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)))
14	13	eleq1d 2897	. 2 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
15		oveq1 7163	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
16	15	mpteq2dv 5162	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)))
17	16	eleq1d 2897	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
18		tgpmulg.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
19	18, 2	tmdtopon 22689	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
20		tmdmnd 22683	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21	2, 3	mndidcl 17926	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
23	19, 19, 22	cnmptc 22270	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
24		oveq2 7164	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 + 1) · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑦))
25	24	cbvmptv 5169	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦))
26		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
27	2, 4, 26	mulgnn0p1 18239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
28	20, 27	syl3an1 1159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
29	28	ad4ant124 1169	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
30	29	mpteq2dva 5161	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)))
31	25, 30	syl5eq 2868	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)))
32		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐺 ∈ TopMnd)
33	32, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
34		oveq2 7164	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑦))
35	34	cbvmptv 5169	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦))
36		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37	35, 36	eqeltrrid 2918	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38	33	cnmptid 22269	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	18, 26, 32, 33, 37, 38	cnmpt1plusg 22695	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40	31, 39	eqeltrd 2913	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
41	8, 11, 14, 17, 23, 40	nn0indd 12080	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540  ℕ₀cn0 11898  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  TopOpenctopn 16695  0_gc0g 16713  Mndcmnd 17911  ._gcmg 18224  TopOnctopon 21518   Cn ccn 21832  TopMndctmd 22678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-0g 16715  df-topgen 16717  df-plusf 17851  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mulg 18225  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-tx 22170  df-tmd 22680

This theorem is referenced by:  tgpmulg  22701