MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmdmulg 21819
Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t · = (.g𝐺)
tgpmulg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
tmdmulg ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tmdmulg
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6617 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
2 tgpmulg.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2621 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 tgpmulg.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
52, 3, 4mulg0 17478 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → (0 · 𝑥) = (0g𝐺))
61, 5sylan9eq 2675 . . . . . 6 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥𝐵) → (𝑛 · 𝑥) = (0g𝐺))
76mpteq2dva 4709 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)))
87eleq1d 2683 . . . 4 (𝑛 = 0 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
98imbi2d 330 . . 3 (𝑛 = 0 → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ↔ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
10 oveq1 6617 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
1110mpteq2dv 4710 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)))
1211eleq1d 2683 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
1312imbi2d 330 . . 3 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ↔ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
14 oveq1 6617 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑥))
1514mpteq2dv 4710 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)))
1615eleq1d 2683 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
1716imbi2d 330 . . 3 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ↔ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
18 oveq1 6617 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
1918mpteq2dv 4710 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)))
2019eleq1d 2683 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
2120imbi2d 330 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ↔ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
22 tgpmulg.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
2322, 2tmdtopon 21808 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
24 tmdmnd 21802 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
252, 3mndidcl 17240 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
2723, 23, 26cnmptc 21388 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
28 oveq2 6618 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 + 1) · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑦))
2928cbvmptv 4715 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦))
30 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐺) = (+g𝐺)
312, 4, 30mulgnn0p1 17484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
3224, 31syl3an1 1356 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
33323expa 1262 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
3433adantlr 750 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
3534mpteq2dva 4709 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)))
3629, 35syl5eq 2667 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)))
37 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐺 ∈ TopMnd)
3837, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
39 oveq2 6618 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑦))
4039cbvmptv 4715 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦))
41 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4240, 41syl5eqelr 2703 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4338cnmptid 21387 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4422, 30, 37, 38, 42, 43cnmpt1plusg 21814 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4536, 44eqeltrd 2698 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4645ex 450 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
4746expcom 451 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺 ∈ TopMnd → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
4847a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
499, 13, 17, 21, 27, 48nn0ind 11424 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
5049impcom 446 1 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891  0cn0 11244  Basecbs 15792  +gcplusg 15873  TopOpenctopn 16014  0gc0g 16032  Mndcmnd 17226  .gcmg 17472  TopOnctopon 20647   Cn ccn 20951  TopMndctmd 21797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-seq 12750  df-0g 16034  df-topgen 16036  df-plusf 17173  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mulg 17473  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-tx 21288  df-tmd 21799
This theorem is referenced by:  tgpmulg  21820
  Copyright terms: Public domain W3C validator