Theorem mndidcl 17080

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndidcl.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2609	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	mndid 17075	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 17037	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ‘cfv 5790  Basecbs 15644  +_gcplusg 15717  0_gc0g 15872  Mndcmnd 17066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-0g 15874  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067

This theorem is referenced by:  mndpfo  17086  prdsidlem  17094  imasmnd  17100  idmhm  17116  mhmf1o  17117  issubmd  17121  submid  17123  0mhm  17130  mhmco  17134  mhmeql  17136  submacs  17137  mrcmndind  17138  prdspjmhm  17139  pwsdiagmhm  17141  pwsco1mhm  17142  pwsco2mhm  17143  gsumvallem2  17144  dfgrp2  17219  grpidcl  17222  mhmid  17308  mhmmnd  17309  mulgnn0cl  17330  mulgnn0z  17339  cntzsubm  17540  oppgmnd  17556  gex1  17778  mulgnn0di  18003  mulgmhm  18005  subcmn  18014  gsumval3  18080  gsumzcl2  18083  gsumzaddlem  18093  gsumzsplit  18099  gsumzmhm  18109  gsummpt1n0  18136  srgidcl  18290  srg0cl  18291  ringidcl  18340  gsummgp0  18380  pwssplit1  18829  dsmm0cl  19851  dsmmacl  19852  mndvlid  19966  mndvrid  19967  mdet0  20179  mndifsplit  20209  gsummatr01lem3  20230  pmatcollpw3fi1lem1  20358  tmdmulg  21654  tmdgsum  21657  tsms0  21703  tsmssplit  21713  tsmsxp  21716  submomnd  28875  omndmul2  28877  omndmul3  28878  omndmul  28879  ogrpinv0le  28881  slmdbn0  28926  slmdsn0  28929  slmd0vcl  28939  gsumle  28944  sibf0  29557  sitmcl  29574  pwssplit4  36501  c0mgm  41721  c0mhm  41722  c0snmgmhm  41726  c0snmhm  41727  mgpsumz  41956  mndpsuppss  41968  lco0  42032