Theorem mndidcl 17355

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndidcl.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2651	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	mndid 17350	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 17312	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  +_gcplusg 15988  0_gc0g 16147  Mndcmnd 17341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342

This theorem is referenced by:  mndpfo  17361  prdsidlem  17369  imasmnd  17375  idmhm  17391  mhmf1o  17392  issubmd  17396  submid  17398  0mhm  17405  mhmco  17409  mhmeql  17411  submacs  17412  mrcmndind  17413  prdspjmhm  17414  pwsdiagmhm  17416  pwsco1mhm  17417  pwsco2mhm  17418  gsumvallem2  17419  dfgrp2  17494  grpidcl  17497  mhmid  17583  mhmmnd  17584  mulgnn0cl  17605  mulgnn0z  17614  cntzsubm  17814  oppgmnd  17830  gex1  18052  mulgnn0di  18277  mulgmhm  18279  subcmn  18288  gsumval3  18354  gsumzcl2  18357  gsumzaddlem  18367  gsumzsplit  18373  gsumzmhm  18383  gsummpt1n0  18410  srgidcl  18564  srg0cl  18565  ringidcl  18614  gsummgp0  18654  pwssplit1  19107  dsmm0cl  20132  dsmmacl  20133  mndvlid  20247  mndvrid  20248  mdet0  20460  mndifsplit  20490  gsummatr01lem3  20511  pmatcollpw3fi1lem1  20639  tmdmulg  21943  tmdgsum  21946  tsms0  21992  tsmssplit  22002  tsmsxp  22005  submomnd  29838  omndmul2  29840  omndmul3  29841  omndmul  29842  ogrpinv0le  29844  slmdbn0  29889  slmdsn0  29892  slmd0vcl  29902  gsumle  29907  sibf0  30524  sitmcl  30541  pwssplit4  37976  c0mgm  42234  c0mhm  42235  c0snmgmhm  42239  c0snmhm  42240  mgpsumz  42466  mndpsuppss  42477  lco0  42541