Theorem mndidcl 17926

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndidcl.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2821	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	mndid 17921	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 17876	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  0_gc0g 16713  Mndcmnd 17911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912

This theorem is referenced by:  mndbn0  17927  hashfinmndnn  17928  mndpfo  17934  prdsidlem  17943  imasmnd  17949  idmhm  17965  mhmf1o  17966  issubmd  17971  submid  17975  0subm  17982  0mhm  17984  mhmco  17988  mhmeql  17990  submacs  17991  mndind  17992  prdspjmhm  17993  pwsdiagmhm  17995  pwsco1mhm  17996  pwsco2mhm  17997  gsumvallem2  17998  dfgrp2  18128  grpidcl  18131  mhmid  18220  mhmmnd  18221  mulgnn0cl  18244  mulgnn0z  18254  cntzsubm  18466  oppgmnd  18482  gex1  18716  mulgnn0di  18946  mulgmhm  18948  subcmn  18957  gsumval3  19027  gsumzcl2  19030  gsumzaddlem  19041  gsumzsplit  19047  gsumzmhm  19057  gsummpt1n0  19085  simpgnideld  19221  srgidcl  19268  srg0cl  19269  ringidcl  19318  gsummgp0  19358  pwssplit1  19831  dsmm0cl  20884  dsmmacl  20885  mndvlid  21004  mndvrid  21005  mdet0  21215  mndifsplit  21245  gsummatr01lem3  21266  pmatcollpw3fi1lem1  21394  tmdmulg  22700  tmdgsum  22703  tsms0  22750  tsmssplit  22760  tsmsxp  22763  cntzsnid  30696  submomnd  30711  omndmul2  30713  omndmul3  30714  omndmul  30715  ogrpinv0le  30716  gsumle  30725  slmd0vcl  30849  sibf0  31592  sitmcl  31609  pwssplit4  39709  c0mgm  44200  c0mhm  44201  c0snmgmhm  44205  c0snmhm  44206  mgpsumz  44430  mndpsuppss  44439  lco0  44502