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Theorem volinun 23360
Description: Addition of non-disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
volinun (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))

Proof of Theorem volinun
StepHypRef Expression
1 inundif 4079 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
21fveq2i 6232 . . . 4 (vol‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = (vol‘𝐴)
3 inmbl 23356 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
43adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
5 difmbl 23357 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
65adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
7 indifcom 3905 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = (𝐴 ∩ ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))
8 difin0 4074 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵) = ∅
98ineq2i 3844 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∩ ∅)
10 in0 4001 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
119, 10eqtri 2673 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵)) = ∅
127, 11eqtri 2673 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1312a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
14 mblvol 23344 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
154, 14syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
16 inss1 3866 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
1716a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
18 mblss 23345 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1918ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
20 mblvol 23344 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
2120ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
22 simprl 809 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
2321, 22eqeltrrd 2731 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
24 ovolsscl 23300 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2517, 19, 23, 24syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2615, 25eqeltrd 2730 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
27 mblvol 23344 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
286, 27syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
29 difssd 3771 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
30 ovolsscl 23300 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
3129, 19, 23, 30syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
3228, 31eqeltrd 2730 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
33 volun 23359 . . . . 5 ((((𝐴𝐵) ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) ∈ dom vol ∧ ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
344, 6, 13, 26, 32, 33syl32anc 1374 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
352, 34syl5eqr 2699 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
3635oveq1d 6705 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = (((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))) + (vol‘𝐵)))
3726recnd 10106 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
3832recnd 10106 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
39 simprr 811 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
4039recnd 10106 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℂ)
4137, 38, 40addassd 10100 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵))))
42 undif1 4076 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴𝐵)
4342fveq2i 6232 . . . 4 (vol‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = (vol‘(𝐴𝐵))
44 simplr 807 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ dom vol)
45 incom 3838 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐴𝐵))
46 disjdif 4073 . . . . . . 7 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
4745, 46eqtri 2673 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅
4847a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅)
49 volun 23359 . . . . 5 ((((𝐴𝐵) ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵)))
506, 44, 48, 32, 39, 49syl32anc 1374 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵)))
5143, 50syl5reqr 2700 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵)) = (vol‘(𝐴𝐵)))
5251oveq2d 6706 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴𝐵)) + ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵))) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
5336, 41, 523eqtrd 2689 1 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973   + caddc 9977  vol*covol 23277  volcvol 23278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-ovol 23279  df-vol 23280
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