MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volinun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volinun 23065
Description: Addition of non-disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
volinun (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))

Proof of Theorem volinun
StepHypRef Expression
1 inundif 3997 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
21fveq2i 6090 . . . 4 (vol‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = (vol‘𝐴)
3 inmbl 23061 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
43adantr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
5 difmbl 23062 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
65adantr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
7 indifcom 3830 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = (𝐴 ∩ ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))
8 difin0 3992 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵) = ∅
98ineq2i 3772 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∩ ∅)
10 in0 3919 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
119, 10eqtri 2631 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵)) = ∅
127, 11eqtri 2631 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1312a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
14 mblvol 23049 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
154, 14syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
16 inss1 3794 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
1716a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
18 mblss 23050 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1918ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
20 mblvol 23049 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
2120ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
22 simprl 789 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
2321, 22eqeltrrd 2688 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
24 ovolsscl 23005 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2517, 19, 23, 24syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2615, 25eqeltrd 2687 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
27 mblvol 23049 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
286, 27syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
29 difssd 3699 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
30 ovolsscl 23005 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
3129, 19, 23, 30syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
3228, 31eqeltrd 2687 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
33 volun 23064 . . . . 5 ((((𝐴𝐵) ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) ∈ dom vol ∧ ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
344, 6, 13, 26, 32, 33syl32anc 1325 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
352, 34syl5eqr 2657 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
3635oveq1d 6541 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = (((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))) + (vol‘𝐵)))
3726recnd 9924 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
3832recnd 9924 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
39 simprr 791 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
4039recnd 9924 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℂ)
4137, 38, 40addassd 9918 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵))))
42 undif1 3994 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴𝐵)
4342fveq2i 6090 . . . 4 (vol‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = (vol‘(𝐴𝐵))
44 simplr 787 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ dom vol)
45 incom 3766 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐴𝐵))
46 disjdif 3991 . . . . . . 7 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
4745, 46eqtri 2631 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅
4847a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅)
49 volun 23064 . . . . 5 ((((𝐴𝐵) ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵)))
506, 44, 48, 32, 39, 49syl32anc 1325 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵)))
5143, 50syl5reqr 2658 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵)) = (vol‘(𝐴𝐵)))
5251oveq2d 6542 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴𝐵)) + ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵))) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
5336, 41, 523eqtrd 2647 1 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cdif 3536  cun 3537  cin 3538  wss 3539  c0 3873  dom cdm 5027  cfv 5789  (class class class)co 6526  cr 9791   + caddc 9795  vol*covol 22982  volcvol 22983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-ioo 12008  df-ico 12010  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fl 12412  df-seq 12621  df-exp 12680  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-ovol 22984  df-vol 22985
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator