Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrnarchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrnarchi 29866
Description: The completed real line is not Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrnarchi ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi

Proof of Theorem xrnarchi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 10077 . . . 4 1 ∈ ℝ
21rexri 10135 . . 3 1 ∈ ℝ*
3 pnfxr 10130 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
4 1rp 11874 . . . 4 1 ∈ ℝ+
5 pnfinf 29865 . . . 4 (1 ∈ ℝ+ → 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)
64, 5ax-mp 5 . . 3 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞
7 breq1 4688 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
8 breq2 4689 . . . 4 (𝑦 = +∞ → (1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞))
97, 8rspc2ev 3355 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
102, 3, 6, 9mp3an 1464 . 2 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦
11 rexnal 3024 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
12 dfrex2 3025 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
1312rexbii 3070 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
14 xrsex 19809 . . . . 5 *𝑠 ∈ V
15 xrsbas 19810 . . . . . 6 * = (Base‘ℝ*𝑠)
16 xrs0 29803 . . . . . 6 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
17 eqid 2651 . . . . . 6 (⋘‘ℝ*𝑠) = (⋘‘ℝ*𝑠)
1815, 16, 17isarchi 29864 . . . . 5 (ℝ*𝑠 ∈ V → (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
1914, 18ax-mp 5 . . . 4 (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
2019notbii 309 . . 3 (¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
2111, 13, 203bitr4i 292 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi)
2210, 21mpbi 220 1 ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cfv 5926  0cc0 9974  1c1 9975  +∞cpnf 10109  *cxr 10111  +crp 11870  *𝑠cxrs 16207  cinftm 29858  Archicarchi 29859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-fz 12365  df-seq 12842  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-0g 16149  df-xrs 16209  df-plt 17005  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-inftm 29860  df-archi 29861
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator