Theorem alimdv 184

Description: Deduction from Theorem 19.20 of [Margaris] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
alimdv.1	⊢ (R, A)⊧B

Assertion

Ref	Expression
alimdv	⊢ (R, (∀λx:α A))⊧(∀λx:α B)

Distinct variable groups:   x,R   α,x

Proof of Theorem alimdv

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alimdv.1	. . . . . . 7 ⊢ (R, A)⊧B
2	1	ax-cb1 29	. . . . . 6 ⊢ (R, A):∗
3	2	wctr 34	. . . . 5 ⊢ A:∗
4	3	ax4 150	. . . 4 ⊢ (∀λx:α A)⊧A
5	2	wctl 33	. . . 4 ⊢ R:∗
6	4, 5	adantl 56	. . 3 ⊢ (R, (∀λx:α A))⊧A
7	6, 1	syldan 36	. 2 ⊢ (R, (∀λx:α A))⊧B
8		wv 64	. . 3 ⊢ y:α:α
9		wal 134	. . . 4 ⊢ ∀:((α → ∗) → ∗)
10	3	wl 66	. . . 4 ⊢ λx:α A:(α → ∗)
11	9, 10	wc 50	. . 3 ⊢ (∀λx:α A):∗
12	5, 8	ax-17 105	. . 3 ⊢ ⊤⊧[(λx:α Ry:α) = R]
13	9, 8	ax-17 105	. . . 4 ⊢ ⊤⊧[(λx:α ∀y:α) = ∀]
14	3, 8	ax-hbl1 103	. . . 4 ⊢ ⊤⊧[(λx:α λx:α Ay:α) = λx:α A]
15	9, 10, 8, 13, 14	hbc 110	. . 3 ⊢ ⊤⊧[(λx:α (∀λx:α A)y:α) = (∀λx:α A)]
16	5, 8, 11, 12, 15	hbct 155	. 2 ⊢ ⊤⊧[(λx:α (R, (∀λx:α A))y:α) = (R, (∀λx:α A))]
17	7, 16	alrimi 182	1 ⊢ (R, (∀λx:α A))⊧(∀λx:α B)

Syntax hints:  tv 1   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6  ⊤kt 8  kct 10  ⊧wffMMJ2 11  ∀tal 122

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113  ax-eta 177

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-an 128

This theorem is referenced by:  exnal1  187