Theorem exnal1 187

Description: Forward direction of exnal 201. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
alnex1.1	⊢ A:∗

Assertion

Ref	Expression
exnal1	⊢ (∃λx:α (¬ A))⊧(¬ (∀λx:α A))

Distinct variable group:   α,x

Proof of Theorem exnal1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wex 139	. . . 4 ⊢ ∃:((α → ∗) → ∗)
2		wnot 138	. . . . . 6 ⊢ ¬ :(∗ → ∗)
3		alnex1.1	. . . . . 6 ⊢ A:∗
4	2, 3	wc 50	. . . . 5 ⊢ (¬ A):∗
5	4	wl 66	. . . 4 ⊢ λx:α (¬ A):(α → ∗)
6	1, 5	wc 50	. . 3 ⊢ (∃λx:α (¬ A)):∗
7	3	notnot1 160	. . . . . 6 ⊢ A⊧(¬ (¬ A))
8		wtru 43	. . . . . 6 ⊢ ⊤:∗
9	7, 8	adantl 56	. . . . 5 ⊢ (⊤, A)⊧(¬ (¬ A))
10	9	alimdv 184	. . . 4 ⊢ (⊤, (∀λx:α A))⊧(∀λx:α (¬ (¬ A)))
11		wal 134	. . . . . . 7 ⊢ ∀:((α → ∗) → ∗)
12	2, 4	wc 50	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (¬ A)):∗
13	12	wl 66	. . . . . . 7 ⊢ λx:α (¬ (¬ A)):(α → ∗)
14	11, 13	wc 50	. . . . . 6 ⊢ (∀λx:α (¬ (¬ A))):∗
15	14	id 25	. . . . 5 ⊢ (∀λx:α (¬ (¬ A)))⊧(∀λx:α (¬ (¬ A)))
16	4	alnex 186	. . . . . 6 ⊢ ⊤⊧[(∀λx:α (¬ (¬ A))) = (¬ (∃λx:α (¬ A)))]
17	14, 16	a1i 28	. . . . 5 ⊢ (∀λx:α (¬ (¬ A)))⊧[(∀λx:α (¬ (¬ A))) = (¬ (∃λx:α (¬ A)))]
18	15, 17	mpbi 82	. . . 4 ⊢ (∀λx:α (¬ (¬ A)))⊧(¬ (∃λx:α (¬ A)))
19	10, 18	syl 16	. . 3 ⊢ (⊤, (∀λx:α A))⊧(¬ (∃λx:α (¬ A)))
20	6, 19	con2d 161	. 2 ⊢ (⊤, (∃λx:α (¬ A)))⊧(¬ (∀λx:α A))
21	20	trul 39	1 ⊢ (∃λx:α (¬ A))⊧(¬ (∀λx:α A))

Syntax hints:   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  kct 10  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  ¬ tne 120  ∀tal 122  ∃tex 123

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113  ax-eta 177

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-fal 127  df-an 128  df-im 129  df-not 130  df-ex 131

This theorem is referenced by: (None)