Theorem 0elpw 4166

Description: Every power class contains the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0elpw	|- (/) e. ~P A

Proof of Theorem 0elpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3463	. 2 |- (/) C_ A
2		0ex 4132	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elpw 3583	. 2 |- ( (/) e. ~P A <-> (/) C_ A )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- (/) e. ~P A

Syntax hints:   e. wcel 2148   C_ wss 3131   (/)c0 3424   ~Pcpw 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-nul 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-dif 3133  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579

This theorem is referenced by:  ordpwsucexmid  4571  pw1on  7227  pw1ne0  7229  pw1nct  14837