Theorem 0elpw 4005

Description: Every power class contains the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0elpw	|- (/) e. ~P A

Proof of Theorem 0elpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3325	. 2 |- (/) C_ A
2		0ex 3972	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elpw 3439	. 2 |- ( (/) e. ~P A <-> (/) C_ A )
4	1, 3	mpbir 145	1 |- (/) e. ~P A

Syntax hints:   e. wcel 1439   C_ wss 3000   (/)c0 3287   ~Pcpw 3433

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-nul 3971

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-v 2622  df-dif 3002  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435

This theorem is referenced by:  ordpwsucexmid  4399