Theorem 0elpw 4150

Description: Every power class contains the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0elpw	|- (/) e. ~P A

Proof of Theorem 0elpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3453	. 2 |- (/) C_ A
2		0ex 4116	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elpw 3572	. 2 |- ( (/) e. ~P A <-> (/) C_ A )
4	1, 3	mpbir 145	1 |- (/) e. ~P A

Syntax hints:   e. wcel 2141   C_ wss 3121   (/)c0 3414   ~Pcpw 3566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-nul 4115

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-dif 3123  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568

This theorem is referenced by:  ordpwsucexmid  4554  pw1on  7203  pw1ne0  7205  pw1nct  14036