Theorem 0elpw 4282

Description: Every power class contains the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0elpw	⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴

Proof of Theorem 0elpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3551	. 2 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		0ex 4242	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elpw 3680	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  𝒫 cpw 3674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-nul 4241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-dif 3216  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676

This theorem is referenced by:  ordpwsucexmid  4697  pw1on  7549  pw1ne0  7551  ssenneg  11229  eupth2lemsfi  16585  pw1nct  16889  exmidpeirce  16893