Theorem 0elpw 4212

Description: Every power class contains the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0elpw	⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴

Proof of Theorem 0elpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3500	. 2 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		0ex 4175	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elpw 3623	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2177   ⊆ wss 3167  ∅c0 3461  𝒫 cpw 3617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188  ax-nul 4174

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-dif 3169  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619

This theorem is referenced by:  ordpwsucexmid  4622  pw1on  7345  pw1ne0  7347  pw1nct  16014