Theorem 0elpw 4163

Description: Every power class contains the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0elpw	⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴

Proof of Theorem 0elpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3461	. 2 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		0ex 4129	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elpw 3581	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3129  ∅c0 3422  𝒫 cpw 3575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-nul 4128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-dif 3131  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577

This theorem is referenced by:  ordpwsucexmid  4568  pw1on  7222  pw1ne0  7224  pw1nct  14612