Theorem bj-rspgt 12982

Description: Restricted specialization, generalized. Weakens a hypothesis of rspccv 2781 and seems to have a shorter proof. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-rspg.nfa	|- F/_ x A
bj-rspg.nfb	|- F/_ x B
bj-rspg.nf2	|- F/ x ps

Assertion

Ref	Expression
bj-rspgt	|- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x e. B ph -> ( A e. B -> ps ) ) )

Proof of Theorem bj-rspgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2200	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
2	1	imbi1d 230	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) <-> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) ) )
3	2	biimpd 143	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) ) )
4		imim2 55	. . . . . . . 8 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ( A. x e. B ph -> ph ) -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) )
5	4	imim2d 54	. . . . . . 7 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) )
6	3, 5	syl9 72	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) )
7	6	a2i 11	. . . . 5 |- ( ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) )
8	7	alimi 1431	. . . 4 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> A. x ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) )
9		bj-rspg.nfa	. . . . 5 |- F/_ x A
10		bj-rspg.nfb	. . . . . . 7 |- F/_ x B
11	9, 10	nfel 2288	. . . . . 6 |- F/ x A e. B
12		nfra1 2464	. . . . . . 7 |- F/ x A. x e. B ph
13		bj-rspg.nf2	. . . . . . 7 |- F/ x ps
14	12, 13	nfim 1551	. . . . . 6 |- F/ x ( A. x e. B ph -> ps )
15	11, 14	nfim 1551	. . . . 5 |- F/ x ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )
16		rsp 2478	. . . . . . 7 |- ( A. x e. B ph -> ( x e. B -> ph ) )
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A. x e. B ph -> ( x e. B -> ph ) ) )
18	17	com23 78	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) )
19	9, 15, 18	bj-vtoclgft 12971	. . . 4 |- ( A. x ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) -> ( A e. B -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) )
20	8, 19	syl 14	. . 3 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A e. B -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) )
21	20	pm2.43d 50	. 2 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) )
22	21	com23 78	1 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x e. B ph -> ( A e. B -> ps ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1329   = wceq 1331   F/wnf 1436   e. wcel 1480   F/_wnfc 2266   A.wral 2414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683

This theorem is referenced by:  bj-rspg  12983