Theorem bj-rspgt 15432

Description: Restricted specialization, generalized. Weakens a hypothesis of rspccv 2865 and seems to have a shorter proof. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-rspg.nfa	|- F/_ x A
bj-rspg.nfb	|- F/_ x B
bj-rspg.nf2	|- F/ x ps

Assertion

Ref	Expression
bj-rspgt	|- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x e. B ph -> ( A e. B -> ps ) ) )

Proof of Theorem bj-rspgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
2	1	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) <-> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) ) )
3	2	biimpd 144	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) ) )
4		imim2 55	. . . . . . . 8 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ( A. x e. B ph -> ph ) -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) )
5	4	imim2d 54	. . . . . . 7 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) )
6	3, 5	syl9 72	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) )
7	6	a2i 11	. . . . 5 |- ( ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) )
8	7	alimi 1469	. . . 4 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> A. x ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) )
9		bj-rspg.nfa	. . . . 5 |- F/_ x A
10		bj-rspg.nfb	. . . . . . 7 |- F/_ x B
11	9, 10	nfel 2348	. . . . . 6 |- F/ x A e. B
12		nfra1 2528	. . . . . . 7 |- F/ x A. x e. B ph
13		bj-rspg.nf2	. . . . . . 7 |- F/ x ps
14	12, 13	nfim 1586	. . . . . 6 |- F/ x ( A. x e. B ph -> ps )
15	11, 14	nfim 1586	. . . . 5 |- F/ x ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )
16		rsp 2544	. . . . . . 7 |- ( A. x e. B ph -> ( x e. B -> ph ) )
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A. x e. B ph -> ( x e. B -> ph ) ) )
18	17	com23 78	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) )
19	9, 15, 18	bj-vtoclgft 15421	. . . 4 |- ( A. x ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) -> ( A e. B -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) )
20	8, 19	syl 14	. . 3 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A e. B -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) )
21	20	pm2.43d 50	. 2 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) )
22	21	com23 78	1 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x e. B ph -> ( A e. B -> ps ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1362   = wceq 1364   F/wnf 1474   e. wcel 2167   F/_wnfc 2326   A.wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765

This theorem is referenced by:  bj-rspg  15433