Theorem bj-rspgt 13821

Description: Restricted specialization, generalized. Weakens a hypothesis of rspccv 2831 and seems to have a shorter proof. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-rspg.nfa	|- F/_ x A
bj-rspg.nfb	|- F/_ x B
bj-rspg.nf2	|- F/ x ps

Assertion

Ref	Expression
bj-rspgt	|- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x e. B ph -> ( A e. B -> ps ) ) )

Proof of Theorem bj-rspgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2233	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
2	1	imbi1d 230	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) <-> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) ) )
3	2	biimpd 143	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) ) )
4		imim2 55	. . . . . . . 8 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ( A. x e. B ph -> ph ) -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) )
5	4	imim2d 54	. . . . . . 7 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) )
6	3, 5	syl9 72	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) )
7	6	a2i 11	. . . . 5 |- ( ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) )
8	7	alimi 1448	. . . 4 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> A. x ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) )
9		bj-rspg.nfa	. . . . 5 |- F/_ x A
10		bj-rspg.nfb	. . . . . . 7 |- F/_ x B
11	9, 10	nfel 2321	. . . . . 6 |- F/ x A e. B
12		nfra1 2501	. . . . . . 7 |- F/ x A. x e. B ph
13		bj-rspg.nf2	. . . . . . 7 |- F/ x ps
14	12, 13	nfim 1565	. . . . . 6 |- F/ x ( A. x e. B ph -> ps )
15	11, 14	nfim 1565	. . . . 5 |- F/ x ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )
16		rsp 2517	. . . . . . 7 |- ( A. x e. B ph -> ( x e. B -> ph ) )
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A. x e. B ph -> ( x e. B -> ph ) ) )
18	17	com23 78	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) )
19	9, 15, 18	bj-vtoclgft 13810	. . . 4 |- ( A. x ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) -> ( A e. B -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) )
20	8, 19	syl 14	. . 3 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A e. B -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) )
21	20	pm2.43d 50	. 2 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) )
22	21	com23 78	1 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x e. B ph -> ( A e. B -> ps ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1346   = wceq 1348   F/wnf 1453   e. wcel 2141   F/_wnfc 2299   A.wral 2448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732

This theorem is referenced by:  bj-rspg  13822