Theorem bj-rspgt 15759

Description: Restricted specialization, generalized. Weakens a hypothesis of rspccv 2874 and seems to have a shorter proof. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-rspg.nfa	|- F/_ x A
bj-rspg.nfb	|- F/_ x B
bj-rspg.nf2	|- F/ x ps

Assertion

Ref	Expression
bj-rspgt	|- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x e. B ph -> ( A e. B -> ps ) ) )

Proof of Theorem bj-rspgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2268	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
2	1	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) <-> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) ) )
3	2	biimpd 144	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) ) )
4		imim2 55	. . . . . . . 8 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ( A. x e. B ph -> ph ) -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) )
5	4	imim2d 54	. . . . . . 7 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) )
6	3, 5	syl9 72	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) )
7	6	a2i 11	. . . . 5 |- ( ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) )
8	7	alimi 1478	. . . 4 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> A. x ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) )
9		bj-rspg.nfa	. . . . 5 |- F/_ x A
10		bj-rspg.nfb	. . . . . . 7 |- F/_ x B
11	9, 10	nfel 2357	. . . . . 6 |- F/ x A e. B
12		nfra1 2537	. . . . . . 7 |- F/ x A. x e. B ph
13		bj-rspg.nf2	. . . . . . 7 |- F/ x ps
14	12, 13	nfim 1595	. . . . . 6 |- F/ x ( A. x e. B ph -> ps )
15	11, 14	nfim 1595	. . . . 5 |- F/ x ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )
16		rsp 2553	. . . . . . 7 |- ( A. x e. B ph -> ( x e. B -> ph ) )
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( A. x e. B ph -> ( x e. B -> ph ) ) )
18	17	com23 78	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) )
19	9, 15, 18	bj-vtoclgft 15748	. . . 4 |- ( A. x ( x = A -> ( ( x e. B -> ( A. x e. B ph -> ph ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) ) -> ( A e. B -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) )
20	8, 19	syl 14	. . 3 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A e. B -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) ) )
21	20	pm2.43d 50	. 2 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) ) )
22	21	com23 78	1 |- ( A. x ( x = A -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x e. B ph -> ( A e. B -> ps ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1371   = wceq 1373   F/wnf 1483   e. wcel 2176   F/_wnfc 2335   A.wral 2484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774

This theorem is referenced by:  bj-rspg  15760