Theorem csbprc 3542

Description: The proper substitution of a proper class for a set into a class results in the empty set. (Contributed by NM, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbprc	|- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B = (/) )

Proof of Theorem csbprc

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csb 3129	. 2 |- [_ A / x ]_ B = { y | [. A / x ]. y e. B }
2		sbcex 3041	. . . . . . 7 |- ( [. A / x ]. y e. B -> A e. _V )
3	2	con3i 637	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> -. [. A / x ]. y e. B )
4	3	pm2.21d 624	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( [. A / x ]. y e. B -> F. ) )
5		falim 1412	. . . . 5 |- ( F. -> [. A / x ]. y e. B )
6	4, 5	impbid1 142	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( [. A / x ]. y e. B <-> F. ) )
7	6	abbidv 2350	. . 3 |- ( -. A e. _V -> { y | [. A / x ]. y e. B } = { y | F. } )
8		fal 1405	. . . 4 |- -. F.
9	8	abf 3540	. . 3 |- { y | F. } = (/)
10	7, 9	eqtrdi 2280	. 2 |- ( -. A e. _V -> { y | [. A / x ]. y e. B } = (/) )
11	1, 10	eqtrid 2276	1 |- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1398   F. wfal 1403   e. wcel 2202   {cab 2217   _Vcvv 2803   [.wsbc 3032   [_csb 3128   (/)c0 3496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497

This theorem is referenced by: (None)