Theorem csbprc 3540

Description: The proper substitution of a proper class for a set into a class results in the empty set. (Contributed by NM, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbprc	|- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B = (/) )

Proof of Theorem csbprc

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csb 3128	. 2 |- [_ A / x ]_ B = { y | [. A / x ]. y e. B }
2		sbcex 3040	. . . . . . 7 |- ( [. A / x ]. y e. B -> A e. _V )
3	2	con3i 637	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> -. [. A / x ]. y e. B )
4	3	pm2.21d 624	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( [. A / x ]. y e. B -> F. ) )
5		falim 1411	. . . . 5 |- ( F. -> [. A / x ]. y e. B )
6	4, 5	impbid1 142	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( [. A / x ]. y e. B <-> F. ) )
7	6	abbidv 2349	. . 3 |- ( -. A e. _V -> { y | [. A / x ]. y e. B } = { y | F. } )
8		fal 1404	. . . 4 |- -. F.
9	8	abf 3538	. . 3 |- { y | F. } = (/)
10	7, 9	eqtrdi 2280	. 2 |- ( -. A e. _V -> { y | [. A / x ]. y e. B } = (/) )
11	1, 10	eqtrid 2276	1 |- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1397   F. wfal 1402   e. wcel 2202   {cab 2217   _Vcvv 2802   [.wsbc 3031   [_csb 3127   (/)c0 3494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495

This theorem is referenced by: (None)