Theorem csbprc 3413

Description: The proper substitution of a proper class for a set into a class results in the empty set. (Contributed by NM, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbprc	|- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B = (/) )

Proof of Theorem csbprc

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csb 3008	. 2 |- [_ A / x ]_ B = { y | [. A / x ]. y e. B }
2		sbcex 2921	. . . . . . 7 |- ( [. A / x ]. y e. B -> A e. _V )
3	2	con3i 622	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> -. [. A / x ]. y e. B )
4	3	pm2.21d 609	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( [. A / x ]. y e. B -> F. ) )
5		falim 1346	. . . . 5 |- ( F. -> [. A / x ]. y e. B )
6	4, 5	impbid1 141	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( [. A / x ]. y e. B <-> F. ) )
7	6	abbidv 2258	. . 3 |- ( -. A e. _V -> { y | [. A / x ]. y e. B } = { y | F. } )
8		fal 1339	. . . 4 |- -. F.
9	8	abf 3411	. . 3 |- { y | F. } = (/)
10	7, 9	eqtrdi 2189	. 2 |- ( -. A e. _V -> { y | [. A / x ]. y e. B } = (/) )
11	1, 10	syl5eq 2185	1 |- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1332   F. wfal 1337   e. wcel 1481   {cab 2126   _Vcvv 2689   [.wsbc 2913   [_csb 3007   (/)c0 3368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369

This theorem is referenced by: (None)