Theorem csbprc 3454

Description: The proper substitution of a proper class for a set into a class results in the empty set. (Contributed by NM, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbprc	|- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B = (/) )

Proof of Theorem csbprc

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csb 3046	. 2 |- [_ A / x ]_ B = { y | [. A / x ]. y e. B }
2		sbcex 2959	. . . . . . 7 |- ( [. A / x ]. y e. B -> A e. _V )
3	2	con3i 622	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> -. [. A / x ]. y e. B )
4	3	pm2.21d 609	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( [. A / x ]. y e. B -> F. ) )
5		falim 1357	. . . . 5 |- ( F. -> [. A / x ]. y e. B )
6	4, 5	impbid1 141	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( [. A / x ]. y e. B <-> F. ) )
7	6	abbidv 2284	. . 3 |- ( -. A e. _V -> { y | [. A / x ]. y e. B } = { y | F. } )
8		fal 1350	. . . 4 |- -. F.
9	8	abf 3452	. . 3 |- { y | F. } = (/)
10	7, 9	eqtrdi 2215	. 2 |- ( -. A e. _V -> { y | [. A / x ]. y e. B } = (/) )
11	1, 10	syl5eq 2211	1 |- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1343   F. wfal 1348   e. wcel 2136   {cab 2151   _Vcvv 2726   [.wsbc 2951   [_csb 3045   (/)c0 3409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410

This theorem is referenced by: (None)