Theorem eq0rdv 3495

Description: Deduction for equality to the empty set. (Contributed by NM, 11-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eq0rdv.1	|- ( ph -> -. x e. A )

Assertion

Ref	Expression
eq0rdv	|- ( ph -> A = (/) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Proof of Theorem eq0rdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0rdv.1	. . . 4 |- ( ph -> -. x e. A )
2	1	pm2.21d 620	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A -> x e. (/) ) )
3	2	ssrdv 3189	. 2 |- ( ph -> A C_ (/) )
4		ss0 3491	. 2 |- ( A C_ (/) -> A = (/) )
5	3, 4	syl 14	1 |- ( ph -> A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   (/)c0 3450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451

This theorem is referenced by:  exmid01  4231  dcextest  4617  nfvres  5592  map0b  6746  snon0  7001  snexxph  7016  fodju0  7213  fzdisj  10127  bldisj  14637