Theorem dftr5 4103

Description: An alternate way of defining a transitive class. (Contributed by NM, 20-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dftr5	|- ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dftr5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 4102	. 2 |- ( Tr A <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
2		alcom 1478	. . 3 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
3		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
4	3	albii 1470	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
5		df-ral 2460	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
6	4, 5	bitr4i 187	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) )
7		r19.21v 2554	. . . . . 6 |- ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
9	8	albii 1470	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
10		df-ral 2460	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. x y e. A <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
11	9, 10	bitr4i 187	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )
12	2, 11	bitri 184	. 2 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )
13	1, 12	bitri 184	1 |- ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   e. wcel 2148   A.wral 2455   Tr wtr 4100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2739  df-in 3135  df-ss 3142  df-uni 3810  df-tr 4101

This theorem is referenced by:  dftr3  4104  exmidonfinlem  7189