Theorem dftr5 4145

Description: An alternate way of defining a transitive class. (Contributed by NM, 20-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dftr5	|- ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dftr5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 4144	. 2 |- ( Tr A <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
2		alcom 1501	. . 3 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
3		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
4	3	albii 1493	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
5		df-ral 2489	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
6	4, 5	bitr4i 187	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) )
7		r19.21v 2583	. . . . . 6 |- ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
9	8	albii 1493	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
10		df-ral 2489	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. x y e. A <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
11	9, 10	bitr4i 187	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )
12	2, 11	bitri 184	. 2 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )
13	1, 12	bitri 184	1 |- ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   e. wcel 2176   A.wral 2484   Tr wtr 4142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774  df-in 3172  df-ss 3179  df-uni 3851  df-tr 4143

This theorem is referenced by:  dftr3  4146  exmidonfinlem  7301