Theorem dftr5 4090

Description: An alternate way of defining a transitive class. (Contributed by NM, 20-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dftr5	|- ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dftr5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 4089	. 2 |- ( Tr A <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
2		alcom 1471	. . 3 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
3		impexp 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
4	3	albii 1463	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
5		df-ral 2453	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
6	4, 5	bitr4i 186	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) )
7		r19.21v 2547	. . . . . 6 |- ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
8	6, 7	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
9	8	albii 1463	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
10		df-ral 2453	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. x y e. A <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
11	9, 10	bitr4i 186	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )
12	2, 11	bitri 183	. 2 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )
13	1, 12	bitri 183	1 |- ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   e. wcel 2141   A.wral 2448   Tr wtr 4087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-uni 3797  df-tr 4088

This theorem is referenced by:  dftr3  4091  exmidonfinlem  7170