Theorem dftr5 4161

Description: An alternate way of defining a transitive class. (Contributed by NM, 20-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dftr5	|- ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dftr5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 4160	. 2 |- ( Tr A <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
2		alcom 1502	. . 3 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
3		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
4	3	albii 1494	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
5		df-ral 2491	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
6	4, 5	bitr4i 187	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) )
7		r19.21v 2585	. . . . . 6 |- ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
9	8	albii 1494	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
10		df-ral 2491	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. x y e. A <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
11	9, 10	bitr4i 187	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )
12	2, 11	bitri 184	. 2 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )
13	1, 12	bitri 184	1 |- ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   e. wcel 2178   A.wral 2486   Tr wtr 4158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-v 2778  df-in 3180  df-ss 3187  df-uni 3865  df-tr 4159

This theorem is referenced by:  dftr3  4162  exmidonfinlem  7332