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Theorem dftr5 4090
Description: An alternate way of defining a transitive class. (Contributed by NM, 20-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
dftr5  |-  ( Tr  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem dftr5
StepHypRef Expression
1 dftr2 4089 . 2  |-  ( Tr  A  <->  A. y A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
2 alcom 1471 . . 3  |-  ( A. y A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. x A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  A ) )
3 impexp 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  A )  <->  ( y  e.  x  ->  ( x  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
43albii 1463 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  ( x  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
5 df-ral 2453 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  (
x  e.  A  -> 
y  e.  A )  <->  A. y ( y  e.  x  ->  ( x  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
64, 5bitr4i 186 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. y  e.  x  ( x  e.  A  ->  y  e.  A ) )
7 r19.21v 2547 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  (
x  e.  A  -> 
y  e.  A )  <-> 
( x  e.  A  ->  A. y  e.  x  y  e.  A )
)
86, 7bitri 183 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  x  y  e.  A ) )
98albii 1463 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  x  y  e.  A ) )
10 df-ral 2453 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  x  y  e.  A ) )
119, 10bitr4i 186 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A )
122, 11bitri 183 . 2  |-  ( A. y A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A )
131, 12bitri 183 1  |-  ( Tr  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1346    e. wcel 2141   A.wral 2448   Tr wtr 4087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-uni 3797  df-tr 4088
This theorem is referenced by:  dftr3  4091  exmidonfinlem  7170
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