Theorem dftr2 4210

Description: An alternate way of defining a transitive class. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 24-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dftr2	|- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dftr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3226	. 2 |- ( U. A C_ A <-> A. x ( x e. U. A -> x e. A ) )
2		df-tr 4209	. 2 |- ( Tr A <-> U. A C_ A )
3		19.23v 1932	. . . 4 |- ( A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
4		eluni 3917	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
5	4	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( x e. U. A -> x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
6	3, 5	bitr4i 187	. . 3 |- ( A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> ( x e. U. A -> x e. A ) )
7	6	albii 1519	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> A. x ( x e. U. A -> x e. A ) )
8	1, 2, 7	3bitr4i 212	1 |- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   E.wex 1541   e. wcel 2203   C_ wss 3211   U.cuni 3914   Tr wtr 4208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-in 3217  df-ss 3224  df-uni 3915  df-tr 4209

This theorem is referenced by:  dftr5  4211  trel  4215  suctr  4542  ordtriexmidlem  4641  ordtri2or2exmidlem  4648  onsucelsucexmidlem  4651  ordsuc  4685  tfi  4704  ordom  4729