Theorem dftr2 4152

Description: An alternate way of defining a transitive class. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 24-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dftr2	|- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dftr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3185	. 2 |- ( U. A C_ A <-> A. x ( x e. U. A -> x e. A ) )
2		df-tr 4151	. 2 |- ( Tr A <-> U. A C_ A )
3		19.23v 1907	. . . 4 |- ( A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
4		eluni 3859	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
5	4	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( x e. U. A -> x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
6	3, 5	bitr4i 187	. . 3 |- ( A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> ( x e. U. A -> x e. A ) )
7	6	albii 1494	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> A. x ( x e. U. A -> x e. A ) )
8	1, 2, 7	3bitr4i 212	1 |- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   E.wex 1516   e. wcel 2177   C_ wss 3170   U.cuni 3856   Tr wtr 4150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-in 3176  df-ss 3183  df-uni 3857  df-tr 4151

This theorem is referenced by:  dftr5  4153  trel  4157  suctr  4476  ordtriexmidlem  4575  ordtri2or2exmidlem  4582  onsucelsucexmidlem  4585  ordsuc  4619  tfi  4638  ordom  4663