Theorem dftr2 4130

Description: An alternate way of defining a transitive class. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 24-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dftr2	|- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dftr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3169	. 2 |- ( U. A C_ A <-> A. x ( x e. U. A -> x e. A ) )
2		df-tr 4129	. 2 |- ( Tr A <-> U. A C_ A )
3		19.23v 1894	. . . 4 |- ( A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
4		eluni 3839	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
5	4	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( x e. U. A -> x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
6	3, 5	bitr4i 187	. . 3 |- ( A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> ( x e. U. A -> x e. A ) )
7	6	albii 1481	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> A. x ( x e. U. A -> x e. A ) )
8	1, 2, 7	3bitr4i 212	1 |- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   E.wex 1503   e. wcel 2164   C_ wss 3154   U.cuni 3836   Tr wtr 4128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-in 3160  df-ss 3167  df-uni 3837  df-tr 4129

This theorem is referenced by:  dftr5  4131  trel  4135  suctr  4453  ordtriexmidlem  4552  ordtri2or2exmidlem  4559  onsucelsucexmidlem  4562  ordsuc  4596  tfi  4615  ordom  4640