Theorem dftr2 4133

Description: An alternate way of defining a transitive class. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 24-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dftr2	|- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dftr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3172	. 2 |- ( U. A C_ A <-> A. x ( x e. U. A -> x e. A ) )
2		df-tr 4132	. 2 |- ( Tr A <-> U. A C_ A )
3		19.23v 1897	. . . 4 |- ( A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
4		eluni 3842	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
5	4	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( x e. U. A -> x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
6	3, 5	bitr4i 187	. . 3 |- ( A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> ( x e. U. A -> x e. A ) )
7	6	albii 1484	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> A. x ( x e. U. A -> x e. A ) )
8	1, 2, 7	3bitr4i 212	1 |- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   E.wex 1506   e. wcel 2167   C_ wss 3157   U.cuni 3839   Tr wtr 4131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-uni 3840  df-tr 4132

This theorem is referenced by:  dftr5  4134  trel  4138  suctr  4456  ordtriexmidlem  4555  ordtri2or2exmidlem  4562  onsucelsucexmidlem  4565  ordsuc  4599  tfi  4618  ordom  4643