Theorem exmidonfinlem 7209

Description: Lemma for exmidonfin 7210. (Contributed by Andrew W Swan and Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
exmidonfinlem.a	|- A = { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } }

Assertion

Ref	Expression
exmidonfinlem	|- ( om = ( On i^i Fin ) -> DECID ph )

Distinct variable group:   ph, x

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem exmidonfinlem

Dummy variables r s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 3629	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } -> ( r = { x e. { (/) } | ph } \/ r = { x e. { (/) } | -. ph } ) )
2		exmidonfinlem.a	. . . . . . . . . 10 |- A = { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } }
3	1, 2	eleq2s 2283	. . . . . . . . 9 |- ( r e. A -> ( r = { x e. { (/) } | ph } \/ r = { x e. { (/) } | -. ph } ) )
4		eleq2 2252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = { x e. { (/) } | ph } -> ( s e. r <-> s e. { x e. { (/) } | ph } ) )
5	4	biimpcd 159	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. r -> ( r = { x e. { (/) } | ph } -> s e. { x e. { (/) } | ph } ) )
6		elrabi 2904	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> s e. { (/) } )
7		velsn 3623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { (/) } <-> s = (/) )
8	6, 7	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> s = (/) )
9		biidd 172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = s -> ( ph <-> ph ) )
10	9	elrab 2907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } <-> ( s e. { (/) } /\ ph ) )
11	10	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> ph )
12	11	notnotd 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> -. -. ph )
13		0ex 4144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (/) e. _V
14	13	snm 3726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E. w w e. { (/) }
15		r19.3rmv 3527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. -. ph <-> A. x e. { (/) } -. -. ph ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. -. ph <-> A. x e. { (/) } -. -. ph )
17	12, 16	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> A. x e. { (/) } -. -. ph )
18		rabeq0 3466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x e. { (/) } | -. ph } = (/) <-> A. x e. { (/) } -. -. ph )
19	17, 18	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> { x e. { (/) } | -. ph } = (/) )
20	8, 19	eqtr4d 2224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> s = { x e. { (/) } | -. ph } )
21		p0ex 4202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) } e. _V
22	21	rabex 4161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x e. { (/) } | -. ph } e. _V
23	22	prid2 3713	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. { (/) } | -. ph } e. { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } }
24	23, 2	eleqtrri 2264	. . . . . . . . . . . 12 |- { x e. { (/) } | -. ph } e. A
25	20, 24	eqeltrdi 2279	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> s e. A )
26	5, 25	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. r -> ( r = { x e. { (/) } | ph } -> s e. A ) )
27		eleq2 2252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = { x e. { (/) } | -. ph } -> ( s e. r <-> s e. { x e. { (/) } | -. ph } ) )
28	27	biimpcd 159	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. r -> ( r = { x e. { (/) } | -. ph } -> s e. { x e. { (/) } | -. ph } ) )
29		elrabi 2904	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } -> s e. { (/) } )
30	29, 7	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } -> s = (/) )
31		biidd 172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = s -> ( -. ph <-> -. ph ) )
32	31	elrab 2907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } <-> ( s e. { (/) } /\ -. ph ) )
33	32	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } -> -. ph )
34		r19.3rmv 3527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. ph <-> A. x e. { (/) } -. ph ) )
35	14, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ph <-> A. x e. { (/) } -. ph )
36	33, 35	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } -> A. x e. { (/) } -. ph )
37		rabeq0 3466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x e. { (/) } | ph } = (/) <-> A. x e. { (/) } -. ph )
38	36, 37	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } -> { x e. { (/) } | ph } = (/) )
39	30, 38	eqtr4d 2224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } -> s = { x e. { (/) } | ph } )
40	21	rabex 4161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x e. { (/) } | ph } e. _V
41	40	prid1 3712	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. { (/) } | ph } e. { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } }
42	41, 2	eleqtrri 2264	. . . . . . . . . . . 12 |- { x e. { (/) } | ph } e. A
43	39, 42	eqeltrdi 2279	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } -> s e. A )
44	28, 43	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. r -> ( r = { x e. { (/) } | -. ph } -> s e. A ) )
45	26, 44	jaod 718	. . . . . . . . 9 |- ( s e. r -> ( ( r = { x e. { (/) } | ph } \/ r = { x e. { (/) } | -. ph } ) -> s e. A ) )
46	3, 45	mpan9 281	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. A /\ s e. r ) -> s e. A )
47	46	rgen2 2575	. . . . . . 7 |- A. r e. A A. s e. r s e. A
48		dftr5 4118	. . . . . . 7 |- ( Tr A <-> A. r e. A A. s e. r s e. A )
49	47, 48	mpbir 146	. . . . . 6 |- Tr A
50		elpri 3629	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } -> ( z = { x e. { (/) } | ph } \/ z = { x e. { (/) } | -. ph } ) )
51	50, 2	eleq2s 2283	. . . . . . . 8 |- ( z e. A -> ( z = { x e. { (/) } | ph } \/ z = { x e. { (/) } | -. ph } ) )
52		ordtriexmidlem 4532	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. { (/) } | ph } e. On
53	52	ontrci 4441	. . . . . . . . . 10 |- Tr { x e. { (/) } | ph }
54		treq 4121	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { x e. { (/) } | ph } -> ( Tr z <-> Tr { x e. { (/) } | ph } ) )
55	53, 54	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( z = { x e. { (/) } | ph } -> Tr z )
56		ordtriexmidlem 4532	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. { (/) } | -. ph } e. On
57	56	ontrci 4441	. . . . . . . . . 10 |- Tr { x e. { (/) } | -. ph }
58		treq 4121	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { x e. { (/) } | -. ph } -> ( Tr z <-> Tr { x e. { (/) } | -. ph } ) )
59	57, 58	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( z = { x e. { (/) } | -. ph } -> Tr z )
60	55, 59	jaoi 717	. . . . . . . 8 |- ( ( z = { x e. { (/) } | ph } \/ z = { x e. { (/) } | -. ph } ) -> Tr z )
61	51, 60	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> Tr z )
62	61	rgen 2542	. . . . . 6 |- A. z e. A Tr z
63		dford3 4381	. . . . . 6 |- ( Ord A <-> ( Tr A /\ A. z e. A Tr z ) )
64	49, 62, 63	mpbir2an 943	. . . . 5 |- Ord A
65		prexg 4225	. . . . . . . 8 |- ( ( { x e. { (/) } | ph } e. _V /\ { x e. { (/) } | -. ph } e. _V ) -> { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } e. _V )
66	40, 22, 65	mp2an 426	. . . . . . 7 |- { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } e. _V
67	2, 66	eqeltri 2261	. . . . . 6 |- A e. _V
68	67	elon 4388	. . . . 5 |- ( A e. On <-> Ord A )
69	64, 68	mpbir 146	. . . 4 |- A e. On
70		2onn 6539	. . . . . 6 |- 2o e. om
71		nnfi 6889	. . . . . 6 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2o e. Fin
73		pm5.19 707	. . . . . . . . . 10 |- -. ( ph <-> -. ph )
74	13	snm 3726	. . . . . . . . . . 11 |- E. y y e. { (/) }
75		r19.3rmv 3527	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y y e. { (/) } -> ( ( ph <-> -. ph ) <-> A. x e. { (/) } ( ph <-> -. ph ) ) )
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph <-> -. ph ) <-> A. x e. { (/) } ( ph <-> -. ph ) )
77	73, 76	mtbi 671	. . . . . . . . 9 |- -. A. x e. { (/) } ( ph <-> -. ph )
78		rabbi 2667	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. { (/) } ( ph <-> -. ph ) <-> { x e. { (/) } | ph } = { x e. { (/) } | -. ph } )
79	77, 78	mtbi 671	. . . . . . . 8 |- -. { x e. { (/) } | ph } = { x e. { (/) } | -. ph }
80	79	neir 2362	. . . . . . 7 |- { x e. { (/) } | ph } =/= { x e. { (/) } | -. ph }
81		pr2ne 7208	. . . . . . . 8 |- ( ( { x e. { (/) } | ph } e. _V /\ { x e. { (/) } | -. ph } e. _V ) -> ( { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } ~~ 2o <-> { x e. { (/) } | ph } =/= { x e. { (/) } | -. ph } ) )
82	40, 22, 81	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } ~~ 2o <-> { x e. { (/) } | ph } =/= { x e. { (/) } | -. ph } )
83	80, 82	mpbir 146	. . . . . 6 |- { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } ~~ 2o
84	2, 83	eqbrtri 4038	. . . . 5 |- A ~~ 2o
85		enfii 6891	. . . . 5 |- ( ( 2o e. Fin /\ A ~~ 2o ) -> A e. Fin )
86	72, 84, 85	mp2an 426	. . . 4 |- A e. Fin
87	69, 86	elini 3333	. . 3 |- A e. ( On i^i Fin )
88		eleq2 2252	. . 3 |- ( om = ( On i^i Fin ) -> ( A e. om <-> A e. ( On i^i Fin ) ) )
89	87, 88	mpbiri 168	. 2 |- ( om = ( On i^i Fin ) -> A e. om )
90		df1o2 6447	. . . . 5 |- 1o = { (/) }
91		1lt2o 6460	. . . . 5 |- 1o e. 2o
92	90, 91	eqeltrri 2262	. . . 4 |- { (/) } e. 2o
93		nneneq 6874	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ 2o e. om ) -> ( A ~~ 2o <-> A = 2o ) )
94	70, 93	mpan2 425	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( A ~~ 2o <-> A = 2o ) )
95	84, 94	mpbii 148	. . . 4 |- ( A e. om -> A = 2o )
96	92, 95	eleqtrrid 2278	. . 3 |- ( A e. om -> { (/) } e. A )
97		elpri 3629	. . . 4 |- ( { (/) } e. { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } -> ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } \/ { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } ) )
98	97, 2	eleq2s 2283	. . 3 |- ( { (/) } e. A -> ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } \/ { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } ) )
99	96, 98	syl 14	. 2 |- ( A e. om -> ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } \/ { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } ) )
100	13	snid 3637	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
101		eleq2 2252	. . . . . . 7 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } -> ( (/) e. { (/) } <-> (/) e. { x e. { (/) } | ph } ) )
102	100, 101	mpbii 148	. . . . . 6 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } -> (/) e. { x e. { (/) } | ph } )
103		biidd 172	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ph <-> ph ) )
104	103	elrab 2907	. . . . . 6 |- ( (/) e. { x e. { (/) } | ph } <-> ( (/) e. { (/) } /\ ph ) )
105	102, 104	sylib 122	. . . . 5 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } -> ( (/) e. { (/) } /\ ph ) )
106	105	simprd 114	. . . 4 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } -> ph )
107		eleq2 2252	. . . . . . 7 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } -> ( (/) e. { (/) } <-> (/) e. { x e. { (/) } | -. ph } ) )
108	100, 107	mpbii 148	. . . . . 6 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } -> (/) e. { x e. { (/) } | -. ph } )
109		biidd 172	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( -. ph <-> -. ph ) )
110	109	elrab 2907	. . . . . 6 |- ( (/) e. { x e. { (/) } | -. ph } <-> ( (/) e. { (/) } /\ -. ph ) )
111	108, 110	sylib 122	. . . . 5 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } -> ( (/) e. { (/) } /\ -. ph ) )
112	111	simprd 114	. . . 4 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } -> -. ph )
113	106, 112	orim12i 760	. . 3 |- ( ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } \/ { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } ) -> ( ph \/ -. ph ) )
114		df-dc 836	. . 3 |- (DECID ph <-> ( ph \/ -. ph ) )
115	113, 114	sylibr 134	. 2 |- ( ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } \/ { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } ) -> DECID ph )
116	89, 99, 115	3syl 17	1 |- ( om = ( On i^i Fin ) -> DECID ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2159   =/= wne 2359   A.wral 2467   {crab 2471   _Vcvv 2751   i^i cin 3142   (/)c0 3436   {csn 3606   {cpr 3607   class class class wbr 4017   Tr wtr 4115   Ord word 4376   Oncon0 4377   omcom 4603   1oc1o 6427   2oc2o 6428   ~~ cen 6755   Fincfn 6757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-tr 4116  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-1o 6434  df-2o 6435  df-er 6552  df-en 6758  df-fin 6760

This theorem is referenced by:  exmidonfin  7210