Theorem exmidonfinlem 7170

Description: Lemma for exmidonfin 7171. (Contributed by Andrew W Swan and Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
exmidonfinlem.a	|- A = { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } }

Assertion

Ref	Expression
exmidonfinlem	|- ( om = ( On i^i Fin ) -> DECID ph )

Distinct variable group:   ph, x

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem exmidonfinlem

Dummy variables r s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 3606	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } -> ( r = { x e. { (/) } | ph } \/ r = { x e. { (/) } | -. ph } ) )
2		exmidonfinlem.a	. . . . . . . . . 10 |- A = { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } }
3	1, 2	eleq2s 2265	. . . . . . . . 9 |- ( r e. A -> ( r = { x e. { (/) } | ph } \/ r = { x e. { (/) } | -. ph } ) )
4		eleq2 2234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = { x e. { (/) } | ph } -> ( s e. r <-> s e. { x e. { (/) } | ph } ) )
5	4	biimpcd 158	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. r -> ( r = { x e. { (/) } | ph } -> s e. { x e. { (/) } | ph } ) )
6		elrabi 2883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> s e. { (/) } )
7		velsn 3600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { (/) } <-> s = (/) )
8	6, 7	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> s = (/) )
9		biidd 171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = s -> ( ph <-> ph ) )
10	9	elrab 2886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } <-> ( s e. { (/) } /\ ph ) )
11	10	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> ph )
12	11	notnotd 625	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> -. -. ph )
13		0ex 4116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (/) e. _V
14	13	snm 3703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E. w w e. { (/) }
15		r19.3rmv 3505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. -. ph <-> A. x e. { (/) } -. -. ph ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. -. ph <-> A. x e. { (/) } -. -. ph )
17	12, 16	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> A. x e. { (/) } -. -. ph )
18		rabeq0 3444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x e. { (/) } | -. ph } = (/) <-> A. x e. { (/) } -. -. ph )
19	17, 18	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> { x e. { (/) } | -. ph } = (/) )
20	8, 19	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> s = { x e. { (/) } | -. ph } )
21		p0ex 4174	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) } e. _V
22	21	rabex 4133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x e. { (/) } | -. ph } e. _V
23	22	prid2 3690	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. { (/) } | -. ph } e. { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } }
24	23, 2	eleqtrri 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- { x e. { (/) } | -. ph } e. A
25	20, 24	eqeltrdi 2261	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. { x e. { (/) } | ph } -> s e. A )
26	5, 25	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. r -> ( r = { x e. { (/) } | ph } -> s e. A ) )
27		eleq2 2234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = { x e. { (/) } | -. ph } -> ( s e. r <-> s e. { x e. { (/) } | -. ph } ) )
28	27	biimpcd 158	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. r -> ( r = { x e. { (/) } | -. ph } -> s e. { x e. { (/) } | -. ph } ) )
29		elrabi 2883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } -> s e. { (/) } )
30	29, 7	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } -> s = (/) )
31		biidd 171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = s -> ( -. ph <-> -. ph ) )
32	31	elrab 2886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } <-> ( s e. { (/) } /\ -. ph ) )
33	32	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } -> -. ph )
34		r19.3rmv 3505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. ph <-> A. x e. { (/) } -. ph ) )
35	14, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ph <-> A. x e. { (/) } -. ph )
36	33, 35	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } -> A. x e. { (/) } -. ph )
37		rabeq0 3444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x e. { (/) } | ph } = (/) <-> A. x e. { (/) } -. ph )
38	36, 37	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } -> { x e. { (/) } | ph } = (/) )
39	30, 38	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } -> s = { x e. { (/) } | ph } )
40	21	rabex 4133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x e. { (/) } | ph } e. _V
41	40	prid1 3689	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. { (/) } | ph } e. { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } }
42	41, 2	eleqtrri 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- { x e. { (/) } | ph } e. A
43	39, 42	eqeltrdi 2261	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. { x e. { (/) } | -. ph } -> s e. A )
44	28, 43	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. r -> ( r = { x e. { (/) } | -. ph } -> s e. A ) )
45	26, 44	jaod 712	. . . . . . . . 9 |- ( s e. r -> ( ( r = { x e. { (/) } | ph } \/ r = { x e. { (/) } | -. ph } ) -> s e. A ) )
46	3, 45	mpan9 279	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. A /\ s e. r ) -> s e. A )
47	46	rgen2 2556	. . . . . . 7 |- A. r e. A A. s e. r s e. A
48		dftr5 4090	. . . . . . 7 |- ( Tr A <-> A. r e. A A. s e. r s e. A )
49	47, 48	mpbir 145	. . . . . 6 |- Tr A
50		elpri 3606	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } -> ( z = { x e. { (/) } | ph } \/ z = { x e. { (/) } | -. ph } ) )
51	50, 2	eleq2s 2265	. . . . . . . 8 |- ( z e. A -> ( z = { x e. { (/) } | ph } \/ z = { x e. { (/) } | -. ph } ) )
52		ordtriexmidlem 4503	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. { (/) } | ph } e. On
53	52	ontrci 4412	. . . . . . . . . 10 |- Tr { x e. { (/) } | ph }
54		treq 4093	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { x e. { (/) } | ph } -> ( Tr z <-> Tr { x e. { (/) } | ph } ) )
55	53, 54	mpbiri 167	. . . . . . . . 9 |- ( z = { x e. { (/) } | ph } -> Tr z )
56		ordtriexmidlem 4503	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. { (/) } | -. ph } e. On
57	56	ontrci 4412	. . . . . . . . . 10 |- Tr { x e. { (/) } | -. ph }
58		treq 4093	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { x e. { (/) } | -. ph } -> ( Tr z <-> Tr { x e. { (/) } | -. ph } ) )
59	57, 58	mpbiri 167	. . . . . . . . 9 |- ( z = { x e. { (/) } | -. ph } -> Tr z )
60	55, 59	jaoi 711	. . . . . . . 8 |- ( ( z = { x e. { (/) } | ph } \/ z = { x e. { (/) } | -. ph } ) -> Tr z )
61	51, 60	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> Tr z )
62	61	rgen 2523	. . . . . 6 |- A. z e. A Tr z
63		dford3 4352	. . . . . 6 |- ( Ord A <-> ( Tr A /\ A. z e. A Tr z ) )
64	49, 62, 63	mpbir2an 937	. . . . 5 |- Ord A
65		prexg 4196	. . . . . . . 8 |- ( ( { x e. { (/) } | ph } e. _V /\ { x e. { (/) } | -. ph } e. _V ) -> { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } e. _V )
66	40, 22, 65	mp2an 424	. . . . . . 7 |- { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } e. _V
67	2, 66	eqeltri 2243	. . . . . 6 |- A e. _V
68	67	elon 4359	. . . . 5 |- ( A e. On <-> Ord A )
69	64, 68	mpbir 145	. . . 4 |- A e. On
70		2onn 6500	. . . . . 6 |- 2o e. om
71		nnfi 6850	. . . . . 6 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2o e. Fin
73		pm5.19 701	. . . . . . . . . 10 |- -. ( ph <-> -. ph )
74	13	snm 3703	. . . . . . . . . . 11 |- E. y y e. { (/) }
75		r19.3rmv 3505	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y y e. { (/) } -> ( ( ph <-> -. ph ) <-> A. x e. { (/) } ( ph <-> -. ph ) ) )
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph <-> -. ph ) <-> A. x e. { (/) } ( ph <-> -. ph ) )
77	73, 76	mtbi 665	. . . . . . . . 9 |- -. A. x e. { (/) } ( ph <-> -. ph )
78		rabbi 2647	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. { (/) } ( ph <-> -. ph ) <-> { x e. { (/) } | ph } = { x e. { (/) } | -. ph } )
79	77, 78	mtbi 665	. . . . . . . 8 |- -. { x e. { (/) } | ph } = { x e. { (/) } | -. ph }
80	79	neir 2343	. . . . . . 7 |- { x e. { (/) } | ph } =/= { x e. { (/) } | -. ph }
81		pr2ne 7169	. . . . . . . 8 |- ( ( { x e. { (/) } | ph } e. _V /\ { x e. { (/) } | -. ph } e. _V ) -> ( { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } ~~ 2o <-> { x e. { (/) } | ph } =/= { x e. { (/) } | -. ph } ) )
82	40, 22, 81	mp2an 424	. . . . . . 7 |- ( { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } ~~ 2o <-> { x e. { (/) } | ph } =/= { x e. { (/) } | -. ph } )
83	80, 82	mpbir 145	. . . . . 6 |- { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } ~~ 2o
84	2, 83	eqbrtri 4010	. . . . 5 |- A ~~ 2o
85		enfii 6852	. . . . 5 |- ( ( 2o e. Fin /\ A ~~ 2o ) -> A e. Fin )
86	72, 84, 85	mp2an 424	. . . 4 |- A e. Fin
87	69, 86	elini 3311	. . 3 |- A e. ( On i^i Fin )
88		eleq2 2234	. . 3 |- ( om = ( On i^i Fin ) -> ( A e. om <-> A e. ( On i^i Fin ) ) )
89	87, 88	mpbiri 167	. 2 |- ( om = ( On i^i Fin ) -> A e. om )
90		df1o2 6408	. . . . 5 |- 1o = { (/) }
91		1lt2o 6421	. . . . 5 |- 1o e. 2o
92	90, 91	eqeltrri 2244	. . . 4 |- { (/) } e. 2o
93		nneneq 6835	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ 2o e. om ) -> ( A ~~ 2o <-> A = 2o ) )
94	70, 93	mpan2 423	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( A ~~ 2o <-> A = 2o ) )
95	84, 94	mpbii 147	. . . 4 |- ( A e. om -> A = 2o )
96	92, 95	eleqtrrid 2260	. . 3 |- ( A e. om -> { (/) } e. A )
97		elpri 3606	. . . 4 |- ( { (/) } e. { { x e. { (/) } | ph } , { x e. { (/) } | -. ph } } -> ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } \/ { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } ) )
98	97, 2	eleq2s 2265	. . 3 |- ( { (/) } e. A -> ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } \/ { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } ) )
99	96, 98	syl 14	. 2 |- ( A e. om -> ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } \/ { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } ) )
100	13	snid 3614	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
101		eleq2 2234	. . . . . . 7 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } -> ( (/) e. { (/) } <-> (/) e. { x e. { (/) } | ph } ) )
102	100, 101	mpbii 147	. . . . . 6 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } -> (/) e. { x e. { (/) } | ph } )
103		biidd 171	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ph <-> ph ) )
104	103	elrab 2886	. . . . . 6 |- ( (/) e. { x e. { (/) } | ph } <-> ( (/) e. { (/) } /\ ph ) )
105	102, 104	sylib 121	. . . . 5 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } -> ( (/) e. { (/) } /\ ph ) )
106	105	simprd 113	. . . 4 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } -> ph )
107		eleq2 2234	. . . . . . 7 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } -> ( (/) e. { (/) } <-> (/) e. { x e. { (/) } | -. ph } ) )
108	100, 107	mpbii 147	. . . . . 6 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } -> (/) e. { x e. { (/) } | -. ph } )
109		biidd 171	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( -. ph <-> -. ph ) )
110	109	elrab 2886	. . . . . 6 |- ( (/) e. { x e. { (/) } | -. ph } <-> ( (/) e. { (/) } /\ -. ph ) )
111	108, 110	sylib 121	. . . . 5 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } -> ( (/) e. { (/) } /\ -. ph ) )
112	111	simprd 113	. . . 4 |- ( { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } -> -. ph )
113	106, 112	orim12i 754	. . 3 |- ( ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } \/ { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } ) -> ( ph \/ -. ph ) )
114		df-dc 830	. . 3 |- (DECID ph <-> ( ph \/ -. ph ) )
115	113, 114	sylibr 133	. 2 |- ( ( { (/) } = { x e. { (/) } | ph } \/ { (/) } = { x e. { (/) } | -. ph } ) -> DECID ph )
116	89, 99, 115	3syl 17	1 |- ( om = ( On i^i Fin ) -> DECID ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   {crab 2452   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   (/)c0 3414   {csn 3583   {cpr 3584   class class class wbr 3989   Tr wtr 4087   Ord word 4347   Oncon0 4348   omcom 4574   1oc1o 6388   2oc2o 6389   ~~ cen 6716   Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721

This theorem is referenced by:  exmidonfin  7171