ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dftr5 GIF version

Theorem dftr5 3931
Description: An alternate way of defining a transitive class. (Contributed by NM, 20-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
dftr5 (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 𝑦𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem dftr5
StepHypRef Expression
1 dftr2 3930 . 2 (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑦𝑥((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
2 alcom 1412 . . 3 (∀𝑦𝑥((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
3 impexp 259 . . . . . . . 8 (((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴) ↔ (𝑦𝑥 → (𝑥𝐴𝑦𝐴)))
43albii 1404 . . . . . . 7 (∀𝑦((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦𝑥 → (𝑥𝐴𝑦𝐴)))
5 df-ral 2364 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥 (𝑥𝐴𝑦𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦𝑥 → (𝑥𝐴𝑦𝐴)))
64, 5bitr4i 185 . . . . . 6 (∀𝑦((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝑥𝐴𝑦𝐴))
7 r19.21v 2450 . . . . . 6 (∀𝑦𝑥 (𝑥𝐴𝑦𝐴) ↔ (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝑥 𝑦𝐴))
86, 7bitri 182 . . . . 5 (∀𝑦((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴) ↔ (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝑥 𝑦𝐴))
98albii 1404 . . . 4 (∀𝑥𝑦((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∀𝑦𝑥 𝑦𝐴))
10 df-ral 2364 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦𝑥 𝑦𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∀𝑦𝑥 𝑦𝐴))
119, 10bitr4i 185 . . 3 (∀𝑥𝑦((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 𝑦𝐴)
122, 11bitri 182 . 2 (∀𝑦𝑥((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 𝑦𝐴)
131, 12bitri 182 1 (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 𝑦𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wal 1287  wcel 1438  wral 2359  Tr wtr 3928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-in 3003  df-ss 3010  df-uni 3649  df-tr 3929
This theorem is referenced by:  dftr3  3932
  Copyright terms: Public domain W3C validator