Proof of Theorem dftr5
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dftr2 4064 |
. 2
⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑦∀𝑥((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)) |
2 | | alcom 1458 |
. . 3
⊢
(∀𝑦∀𝑥((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)) |
3 | | impexp 261 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))) |
4 | 3 | albii 1450 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))) |
5 | | df-ral 2440 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑦 ∈
𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))) |
6 | 4, 5 | bitr4i 186 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴)) |
7 | | r19.21v 2534 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑦 ∈
𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴)) |
8 | 6, 7 | bitri 183 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴)) |
9 | 8 | albii 1450 |
. . . 4
⊢
(∀𝑥∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴)) |
10 | | df-ral 2440 |
. . . 4
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴)) |
11 | 9, 10 | bitr4i 186 |
. . 3
⊢
(∀𝑥∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴) |
12 | 2, 11 | bitri 183 |
. 2
⊢
(∀𝑦∀𝑥((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴) |
13 | 1, 12 | bitri 183 |
1
⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴) |