Theorem dftr5 4090

Description: An alternate way of defining a transitive class. (Contributed by NM, 20-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dftr5	⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem dftr5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 4089	. 2 ⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑦∀𝑥((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
2		alcom 1471	. . 3 ⊢ (∀𝑦∀𝑥((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
3		impexp 261	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
4	3	albii 1463	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
5		df-ral 2453	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
6	4, 5	bitr4i 186	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
7		r19.21v 2547	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴))
8	6, 7	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴))
9	8	albii 1463	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴))
10		df-ral 2453	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴))
11	9, 10	bitr4i 186	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴)
12	2, 11	bitri 183	. 2 ⊢ (∀𝑦∀𝑥((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴)
13	1, 12	bitri 183	1 ⊢ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1346   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  Tr wtr 4087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-uni 3797  df-tr 4088

This theorem is referenced by:  dftr3  4091  exmidonfinlem  7170