Theorem elint2 3814

Description: Membership in class intersection. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
elint2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
elint2	|- ( A e. |^| B <-> A. x e. B A e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem elint2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elint2.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	elint 3813	. 2 |- ( A e. |^| B <-> A. x ( x e. B -> A e. x ) )
3		df-ral 2440	. 2 |- ( A. x e. B A e. x <-> A. x ( x e. B -> A e. x ) )
4	2, 3	bitr4i 186	1 |- ( A e. |^| B <-> A. x e. B A e. x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1333   e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712   |^|cint 3807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-v 2714  df-int 3808

This theorem is referenced by:  elintg  3815  ssint  3823  intssunim  3829  iinuniss  3931  trint  4077  suplocexprlemmu  7632  suplocexprlemdisj  7634  suplocexprlemloc  7635  suplocexprlemub  7637