Theorem elint2 3778

Description: Membership in class intersection. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
elint2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
elint2	|- ( A e. |^| B <-> A. x e. B A e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem elint2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elint2.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	elint 3777	. 2 |- ( A e. |^| B <-> A. x ( x e. B -> A e. x ) )
3		df-ral 2421	. 2 |- ( A. x e. B A e. x <-> A. x ( x e. B -> A e. x ) )
4	2, 3	bitr4i 186	1 |- ( A e. |^| B <-> A. x e. B A e. x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1329   e. wcel 1480   A.wral 2416   _Vcvv 2686   |^|cint 3771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-int 3772

This theorem is referenced by:  elintg  3779  ssint  3787  intssunim  3793  iinuniss  3895  trint  4041  suplocexprlemmu  7526  suplocexprlemdisj  7528  suplocexprlemloc  7529  suplocexprlemub  7531