Theorem trint 4146

Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Exercise 5(b) of [Enderton] p. 73. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
trint	|- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem trint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr3 4135	. . . . . 6 |- ( Tr x <-> A. y e. x y C_ x )
2	1	ralbii 2503	. . . . 5 |- ( A. x e. A Tr x <-> A. x e. A A. y e. x y C_ x )
3	2	biimpi 120	. . . 4 |- ( A. x e. A Tr x -> A. x e. A A. y e. x y C_ x )
4		df-ral 2480	. . . . . 6 |- ( A. y e. x y C_ x <-> A. y ( y e. x -> y C_ x ) )
5	4	ralbii 2503	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. x y C_ x <-> A. x e. A A. y ( y e. x -> y C_ x ) )
6		ralcom4 2785	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y ( y e. x -> y C_ x ) <-> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
7	5, 6	bitri 184	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. x y C_ x <-> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
8	3, 7	sylib 122	. . 3 |- ( A. x e. A Tr x -> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
9		ralim 2556	. . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) -> ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
10	9	alimi 1469	. . 3 |- ( A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) -> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
11	8, 10	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A Tr x -> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
12		dftr3 4135	. . 3 |- ( Tr |^| A <-> A. y e. |^| A y C_ |^| A )
13		df-ral 2480	. . . 4 |- ( A. y e. |^| A y C_ |^| A <-> A. y ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) )
14		vex 2766	. . . . . . 7 |- y e. _V
15	14	elint2 3881	. . . . . 6 |- ( y e. |^| A <-> A. x e. A y e. x )
16		ssint 3890	. . . . . 6 |- ( y C_ |^| A <-> A. x e. A y C_ x )
17	15, 16	imbi12i 239	. . . . 5 |- ( ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) <-> ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
18	17	albii 1484	. . . 4 |- ( A. y ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
19	13, 18	bitri 184	. . 3 |- ( A. y e. |^| A y C_ |^| A <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
20	12, 19	bitri 184	. 2 |- ( Tr |^| A <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
21	11, 20	sylibr 134	1 |- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1362   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   |^|cint 3874   Tr wtr 4131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-uni 3840  df-int 3875  df-tr 4132

This theorem is referenced by:  onintonm  4553