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Theorem trint 4131
Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Exercise 5(b) of [Enderton] p. 73. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
trint  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem trint
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr3 4120 . . . . . 6  |-  ( Tr  x  <->  A. y  e.  x  y  C_  x )
21ralbii 2496 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x )
32biimpi 120 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x )
4 df-ral 2473 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
54ralbii 2496 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. x  e.  A  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
6 ralcom4 2774 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x )
)
75, 6bitri 184 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
83, 7sylib 122 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
9 ralim 2549 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  x  -> 
y  C_  x )  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
109alimi 1466 . . 3  |-  ( A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x )  ->  A. y ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
118, 10syl 14 . 2  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. y ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
12 dftr3 4120 . . 3  |-  ( Tr 
|^| A  <->  A. y  e.  |^| A y  C_  |^| A )
13 df-ral 2473 . . . 4  |-  ( A. y  e.  |^| A y 
C_  |^| A  <->  A. y
( y  e.  |^| A  ->  y  C_  |^| A
) )
14 vex 2755 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1514elint2 3866 . . . . . 6  |-  ( y  e.  |^| A  <->  A. x  e.  A  y  e.  x )
16 ssint 3875 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  |^| A  <->  A. x  e.  A  y  C_  x )
1715, 16imbi12i 239 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  |^| A  ->  y  C_  |^| A )  <-> 
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
1817albii 1481 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e. 
|^| A  ->  y  C_ 
|^| A )  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
1913, 18bitri 184 . . 3  |-  ( A. y  e.  |^| A y 
C_  |^| A  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
2012, 19bitri 184 . 2  |-  ( Tr 
|^| A  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
2111, 20sylibr 134 1  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1362    e. wcel 2160   A.wral 2468    C_ wss 3144   |^|cint 3859   Tr wtr 4116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-uni 3825  df-int 3860  df-tr 4117
This theorem is referenced by:  onintonm  4534
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