Theorem trint 4095

Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Exercise 5(b) of [Enderton] p. 73. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
trint	|- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem trint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr3 4084	. . . . . 6 |- ( Tr x <-> A. y e. x y C_ x )
2	1	ralbii 2472	. . . . 5 |- ( A. x e. A Tr x <-> A. x e. A A. y e. x y C_ x )
3	2	biimpi 119	. . . 4 |- ( A. x e. A Tr x -> A. x e. A A. y e. x y C_ x )
4		df-ral 2449	. . . . . 6 |- ( A. y e. x y C_ x <-> A. y ( y e. x -> y C_ x ) )
5	4	ralbii 2472	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. x y C_ x <-> A. x e. A A. y ( y e. x -> y C_ x ) )
6		ralcom4 2748	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y ( y e. x -> y C_ x ) <-> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
7	5, 6	bitri 183	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. x y C_ x <-> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
8	3, 7	sylib 121	. . 3 |- ( A. x e. A Tr x -> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
9		ralim 2525	. . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) -> ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
10	9	alimi 1443	. . 3 |- ( A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) -> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
11	8, 10	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A Tr x -> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
12		dftr3 4084	. . 3 |- ( Tr |^| A <-> A. y e. |^| A y C_ |^| A )
13		df-ral 2449	. . . 4 |- ( A. y e. |^| A y C_ |^| A <-> A. y ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) )
14		vex 2729	. . . . . . 7 |- y e. _V
15	14	elint2 3831	. . . . . 6 |- ( y e. |^| A <-> A. x e. A y e. x )
16		ssint 3840	. . . . . 6 |- ( y C_ |^| A <-> A. x e. A y C_ x )
17	15, 16	imbi12i 238	. . . . 5 |- ( ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) <-> ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
18	17	albii 1458	. . . 4 |- ( A. y ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
19	13, 18	bitri 183	. . 3 |- ( A. y e. |^| A y C_ |^| A <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
20	12, 19	bitri 183	. 2 |- ( Tr |^| A <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
21	11, 20	sylibr 133	1 |- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1341   e. wcel 2136   A.wral 2444   C_ wss 3116   |^|cint 3824   Tr wtr 4080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-in 3122  df-ss 3129  df-uni 3790  df-int 3825  df-tr 4081

This theorem is referenced by:  onintonm  4494