Theorem ssint 3795

Description: Subclass of a class intersection. Theorem 5.11(viii) of [Monk1] p. 52 and its converse. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ssint	|- ( A C_ |^| B <-> A. x e. B A C_ x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ssint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3092	. 2 |- ( A C_ |^| B <-> A. y e. A y e. |^| B )
2		vex 2692	. . . 4 |- y e. _V
3	2	elint2 3786	. . 3 |- ( y e. |^| B <-> A. x e. B y e. x )
4	3	ralbii 2444	. 2 |- ( A. y e. A y e. |^| B <-> A. y e. A A. x e. B y e. x )
5		ralcom 2597	. . 3 |- ( A. y e. A A. x e. B y e. x <-> A. x e. B A. y e. A y e. x )
6		dfss3 3092	. . . 4 |- ( A C_ x <-> A. y e. A y e. x )
7	6	ralbii 2444	. . 3 |- ( A. x e. B A C_ x <-> A. x e. B A. y e. A y e. x )
8	5, 7	bitr4i 186	. 2 |- ( A. y e. A A. x e. B y e. x <-> A. x e. B A C_ x )
9	1, 4, 8	3bitri 205	1 |- ( A C_ |^| B <-> A. x e. B A C_ x )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 1481   A.wral 2417   C_ wss 3076   |^|cint 3779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-int 3780

This theorem is referenced by:  ssintab  3796  ssintub  3797  iinpw  3911  trint  4049  fintm  5316  bj-ssom  13305