Theorem ssint 3840

Description: Subclass of a class intersection. Theorem 5.11(viii) of [Monk1] p. 52 and its converse. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ssint	|- ( A C_ |^| B <-> A. x e. B A C_ x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ssint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3132	. 2 |- ( A C_ |^| B <-> A. y e. A y e. |^| B )
2		vex 2729	. . . 4 |- y e. _V
3	2	elint2 3831	. . 3 |- ( y e. |^| B <-> A. x e. B y e. x )
4	3	ralbii 2472	. 2 |- ( A. y e. A y e. |^| B <-> A. y e. A A. x e. B y e. x )
5		ralcom 2629	. . 3 |- ( A. y e. A A. x e. B y e. x <-> A. x e. B A. y e. A y e. x )
6		dfss3 3132	. . . 4 |- ( A C_ x <-> A. y e. A y e. x )
7	6	ralbii 2472	. . 3 |- ( A. x e. B A C_ x <-> A. x e. B A. y e. A y e. x )
8	5, 7	bitr4i 186	. 2 |- ( A. y e. A A. x e. B y e. x <-> A. x e. B A C_ x )
9	1, 4, 8	3bitri 205	1 |- ( A C_ |^| B <-> A. x e. B A C_ x )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 2136   A.wral 2444   C_ wss 3116   |^|cint 3824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-in 3122  df-ss 3129  df-int 3825

This theorem is referenced by:  ssintab  3841  ssintub  3842  iinpw  3956  trint  4095  fintm  5373  bj-ssom  13818