Theorem ssint 3847

Description: Subclass of a class intersection. Theorem 5.11(viii) of [Monk1] p. 52 and its converse. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ssint	|- ( A C_ |^| B <-> A. x e. B A C_ x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ssint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3137	. 2 |- ( A C_ |^| B <-> A. y e. A y e. |^| B )
2		vex 2733	. . . 4 |- y e. _V
3	2	elint2 3838	. . 3 |- ( y e. |^| B <-> A. x e. B y e. x )
4	3	ralbii 2476	. 2 |- ( A. y e. A y e. |^| B <-> A. y e. A A. x e. B y e. x )
5		ralcom 2633	. . 3 |- ( A. y e. A A. x e. B y e. x <-> A. x e. B A. y e. A y e. x )
6		dfss3 3137	. . . 4 |- ( A C_ x <-> A. y e. A y e. x )
7	6	ralbii 2476	. . 3 |- ( A. x e. B A C_ x <-> A. x e. B A. y e. A y e. x )
8	5, 7	bitr4i 186	. 2 |- ( A. y e. A A. x e. B y e. x <-> A. x e. B A C_ x )
9	1, 4, 8	3bitri 205	1 |- ( A C_ |^| B <-> A. x e. B A C_ x )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 2141   A.wral 2448   C_ wss 3121   |^|cint 3831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-int 3832

This theorem is referenced by:  ssintab  3848  ssintub  3849  iinpw  3963  trint  4102  fintm  5383  bj-ssom  13971