Theorem ifexd 4445

Description: Existence of a conditional class (deduction form). (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifexd.1	|- ( ph -> A e. V )
ifexd.2	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
ifexd	|- ( ph -> if ( ph , A , B ) e. _V )

Proof of Theorem ifexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifexd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		ifexd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. W )
3	1, 2	ifelpwund 4443	. 2 |- ( ph -> if ( ph , A , B ) e. ~P ( A u. B ) )
4	3	elexd 2725	1 |- ( ph -> if ( ph , A , B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   u. cun 3100   ifcif 3505   ~Pcpw 3543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pr 4170  ax-un 4394

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3774

This theorem is referenced by: (None)