Theorem ifexd 4583

Description: Existence of a conditional class (deduction form). (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifexd.1	|- ( ph -> A e. V )
ifexd.2	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
ifexd	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. _V )

Proof of Theorem ifexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifexd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		ifexd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. W )
3	1, 2	ifelpwund 4581	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. ~P ( A u. B ) )
4	3	elexd 2815	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2201   _Vcvv 2801   u. cun 3197   ifcif 3604   ~Pcpw 3653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pr 4301  ax-un 4532

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-uni 3895

This theorem is referenced by:  ifexg  4584  ccatlen  11181  ccatvalfn  11187  ccatalpha  11199  swrdval  11238  pfxval  11264  fnpfx  11267  gsumfzval  13497  vtxvalg  15896  iedgvalg  15897  vtxex  15898  iedgex  15899  edgvalg  15939