Theorem ifexd 4515

Description: Existence of a conditional class (deduction form). (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifexd.1	|- ( ph -> A e. V )
ifexd.2	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
ifexd	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. _V )

Proof of Theorem ifexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifexd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		ifexd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. W )
3	1, 2	ifelpwund 4513	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. ~P ( A u. B ) )
4	3	elexd 2773	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3151   ifcif 3557   ~Pcpw 3601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836

This theorem is referenced by:  ifexg  4516  gsumfzval  12974