Theorem ifexd 4628

Description: Existence of a conditional class (deduction form). (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifexd.1	|- ( ph -> A e. V )
ifexd.2	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
ifexd	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. _V )

Proof of Theorem ifexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifexd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		ifexd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. W )
3	1, 2	ifelpwund 4626	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. ~P ( A u. B ) )
4	3	elexd 2835	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   ifcif 3638   ~Pcpw 3688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934

This theorem is referenced by:  ifexg  4629  ccatlen  11346  ccatvalfn  11352  ccatalpha  11364  swrdval  11403  pfxval  11429  fnpfx  11432  gzsumfzval  13694  vtxvalg  16240  iedgvalg  16241  vtxex  16242  iedgex  16243  edgvalg  16283