Theorem ifexd 4532

Description: Existence of a conditional class (deduction form). (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ifexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ifexd	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem ifexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifexd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ifexd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3	1, 2	ifelpwund 4530	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
4	3	elexd 2785	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772   ∪ cun 3164  ifcif 3571  𝒫 cpw 3616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851

This theorem is referenced by:  ifexg  4533  ccatlen  11054  ccatvalfn  11060  swrdval  11104  pfxval  11130  gsumfzval  13256  vtxvalg  15648  iedgvalg  15649  edgvalg  15687