Theorem ifexd 4632

Description: Existence of a conditional class (deduction form). (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ifexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ifexd	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem ifexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifexd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ifexd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3	1, 2	ifelpwund 4630	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
4	3	elexd 2835	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  ifcif 3638  𝒫 cpw 3688

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936

This theorem is used by:  ifexg  4633  ccatlen  11386  ccatvalfn  11392  ccatalpha  11404  swrdval  11443  pfxval  11469  fnpfx  11472  gzsumfzval  13771  psrlidmfi  15204  psrridmfi  15205  mvrval2  15212  vtxvalg  16474  iedgvalg  16475  vtxex  16476  iedgex  16477  edgvalg  16517