Theorem ifexd 4443

Description: Existence of a conditional class (deduction form). (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ifexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ifexd	⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem ifexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifexd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ifexd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3	1, 2	ifelpwund 4441	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
4	3	elexd 2725	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712   ∪ cun 3100  ifcif 3505  𝒫 cpw 3543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pr 4169  ax-un 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773

This theorem is referenced by: (None)