Theorem infeuti 7196

Description: An infimum is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
infeuti.2	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infeuti	|- ( ph -> E! x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, x, y, z, A   u, R, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   ph, u, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)

Proof of Theorem infeuti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infeuti.2	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
2		infmoti.ti	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3	2	infmoti 7195	. 2 |- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
4		reu5 2749	. 2 |- ( E! x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) /\ E* x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
5	1, 3, 4	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> E! x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   E!wreu 2510   E*wrmo 2511   class class class wbr 4083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-cnv 4727

This theorem is referenced by: (None)