Theorem infmoti 7130

Description: Any class B has at most one infimum in A (where R is interpreted as 'less than'). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
infmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infmoti	|- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, x, y, z, A   u, R, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   ph, u, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)

Proof of Theorem infmoti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infmoti.ti	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2	1	cnvti 7121	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
3	2	supmoti 7095	. 2 |- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )
4		vex 2775	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		vex 2775	. . . . . . 7 |- y e. _V
6	4, 5	brcnv 4861	. . . . . 6 |- ( x `' R y <-> y R x )
7	6	notbii 670	. . . . 5 |- ( -. x `' R y <-> -. y R x )
8	7	ralbii 2512	. . . 4 |- ( A. y e. B -. x `' R y <-> A. y e. B -. y R x )
9	5, 4	brcnv 4861	. . . . . 6 |- ( y `' R x <-> x R y )
10		vex 2775	. . . . . . . 8 |- z e. _V
11	5, 10	brcnv 4861	. . . . . . 7 |- ( y `' R z <-> z R y )
12	11	rexbii 2513	. . . . . 6 |- ( E. z e. B y `' R z <-> E. z e. B z R y )
13	9, 12	imbi12i 239	. . . . 5 |- ( ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> ( x R y -> E. z e. B z R y ) )
14	13	ralbii 2512	. . . 4 |- ( A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) )
15	8, 14	anbi12i 460	. . 3 |- ( ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
16	15	rmobii 2697	. 2 |- ( E* x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> E* x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
17	3, 16	sylib 122	1 |- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   E*wrmo 2487   class class class wbr 4044   `'ccnv 4674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rmo 2492  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-cnv 4683

This theorem is referenced by:  infeuti  7131