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Theorem infmoti 7021
Description: Any class  B has at most one infimum in  A (where  R is interpreted as 'less than'). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
infmoti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
Assertion
Ref Expression
infmoti  |-  ( ph  ->  E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, x, y, z, A    u, R, v, x, y, z   
u, B, v, x, y, z    ph, u, v, x
Allowed substitution hints:    ph( y, z)

Proof of Theorem infmoti
StepHypRef Expression
1 infmoti.ti . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
21cnvti 7012 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u `' R v  /\  -.  v `' R u ) ) )
32supmoti 6986 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
4 vex 2740 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
5 vex 2740 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
64, 5brcnv 4806 . . . . . 6  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
76notbii 668 . . . . 5  |-  ( -.  x `' R y  <->  -.  y R x )
87ralbii 2483 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  <->  A. y  e.  B  -.  y R x )
95, 4brcnv 4806 . . . . . 6  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
10 vex 2740 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
115, 10brcnv 4806 . . . . . . 7  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
1211rexbii 2484 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  B  y `' R z  <->  E. z  e.  B  z R
y )
139, 12imbi12i 239 . . . . 5  |-  ( ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z )  <->  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )
1413ralbii 2483 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z )  <->  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )
158, 14anbi12i 460 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )  <-> 
( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )
1615rmobii 2667 . 2  |-  ( E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )  <->  E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
173, 16sylib 122 1  |-  ( ph  ->  E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   E*wrmo 2458   class class class wbr 4000   `'ccnv 4622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rmo 2463  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-cnv 4631
This theorem is referenced by:  infeuti  7022
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