Theorem infmoti 7358

Description: Any class B has at most one infimum in A (where R is interpreted as 'less than'). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
infmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infmoti	|- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, x, y, z, A   u, R, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   ph, u, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)

Proof of Theorem infmoti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infmoti.ti	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2	1	cnvti 7349	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
3	2	supmoti 7323	. 2 |- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )
4		vex 2824	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		vex 2824	. . . . . . 7 |- y e. _V
6	4, 5	brcnv 4958	. . . . . 6 |- ( x `' R y <-> y R x )
7	6	notbii 678	. . . . 5 |- ( -. x `' R y <-> -. y R x )
8	7	ralbii 2556	. . . 4 |- ( A. y e. B -. x `' R y <-> A. y e. B -. y R x )
9	5, 4	brcnv 4958	. . . . . 6 |- ( y `' R x <-> x R y )
10		vex 2824	. . . . . . . 8 |- z e. _V
11	5, 10	brcnv 4958	. . . . . . 7 |- ( y `' R z <-> z R y )
12	11	rexbii 2557	. . . . . 6 |- ( E. z e. B y `' R z <-> E. z e. B z R y )
13	9, 12	imbi12i 239	. . . . 5 |- ( ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> ( x R y -> E. z e. B z R y ) )
14	13	ralbii 2556	. . . 4 |- ( A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) )
15	8, 14	anbi12i 464	. . 3 |- ( ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
16	15	rmobii 2744	. 2 |- ( E* x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> E* x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
17	3, 16	sylib 122	1 |- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   E*wrmo 2531   class class class wbr 4125   `'ccnv 4768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rmo 2536  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-cnv 4777

This theorem is referenced by:  infeuti  7359