Theorem infsnti 7158

Description: The infimum of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infsnti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
infsnti.b	|- ( ph -> B e. A )

Assertion

Ref	Expression
infsnti	|- ( ph -> inf ( { B } , A , R ) = B )

Distinct variable groups:   u, A, v   u, B, v   u, R, v   ph, u, v

Proof of Theorem infsnti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 7113	. 2 |- inf ( { B } , A , R ) = sup ( { B } , A , `' R )
2		infsnti.ti	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3	2	cnvti 7147	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
4		infsnti.b	. . 3 |- ( ph -> B e. A )
5	3, 4	supsnti 7133	. 2 |- ( ph -> sup ( { B } , A , `' R ) = B )
6	1, 5	eqtrid 2252	1 |- ( ph -> inf ( { B } , A , R ) = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   {csn 3643   class class class wbr 4059   `'ccnv 4692   supcsup 7110  infcinf 7111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-cnv 4701  df-iota 5251  df-riota 5922  df-sup 7112  df-inf 7113

This theorem is referenced by: (None)