Theorem infsnti 6832

Description: The infimum of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infsnti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
infsnti.b	|- ( ph -> B e. A )

Assertion

Ref	Expression
infsnti	|- ( ph -> inf ( { B } , A , R ) = B )

Distinct variable groups:   u, A, v   u, B, v   u, R, v   ph, u, v

Proof of Theorem infsnti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 6787	. 2 |- inf ( { B } , A , R ) = sup ( { B } , A , `' R )
2		infsnti.ti	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3	2	cnvti 6821	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
4		infsnti.b	. . 3 |- ( ph -> B e. A )
5	3, 4	supsnti 6807	. 2 |- ( ph -> sup ( { B } , A , `' R ) = B )
6	1, 5	syl5eq 2144	1 |- ( ph -> inf ( { B } , A , R ) = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1299   e. wcel 1448   {csn 3474   class class class wbr 3875   `'ccnv 4476   supcsup 6784  infcinf 6785

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-cnv 4485  df-iota 5024  df-riota 5662  df-sup 6786  df-inf 6787

This theorem is referenced by: (None)