Theorem phisum 12103

Description: The divisor sum identity of the totient function. Theorem 2.2 in [ApostolNT] p. 26. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phisum	|- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = N )

Distinct variable group:   x, N, d

Proof of Theorem phisum

Dummy variables z y w j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3968	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x || N <-> y || N ) )
2	1	elrab 2868	. . . . 5 |- ( y e. { x e. NN | x || N } <-> ( y e. NN /\ y || N ) )
3		hashgcdeq 12102	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ y e. NN ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) )
4	3	adantrr 471	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) )
5		iftrue 3510	. . . . . . 7 |- ( y || N -> if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
6	5	ad2antll 483	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
7	4, 6	eqtrd 2190	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
8	2, 7	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
9	8	sumeq2dv 11258	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ y e. { x e. NN | x || N } (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } ( phi ` ( N / y ) ) )
10		1zzd 9188	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
11		nnz 9180	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
12	10, 11	fzfigd 10323	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 ... N ) e. Fin )
13		dvdsssfz1 11736	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
14		elfznn 9949	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. NN )
15		dvdsdc 11687	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID j || N )
16	14, 11, 15	syl2anr 288	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> DECID j || N )
17		ibar 299	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( j || N <-> ( j e. NN /\ j || N ) ) )
18	14, 17	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> ( j || N <-> ( j e. NN /\ j || N ) ) )
19		breq1 3968	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = j -> ( x || N <-> j || N ) )
20	19	elrab 2868	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. { x e. NN | x || N } <-> ( j e. NN /\ j || N ) )
21	18, 20	bitr4di 197	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> ( j || N <-> j e. { x e. NN | x || N } ) )
22	21	dcbid 824	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> (DECID j || N <-> DECID j e. { x e. NN | x || N } ) )
23	22	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> (DECID j || N <-> DECID j e. { x e. NN | x || N } ) )
24	16, 23	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> DECID j e. { x e. NN | x || N } )
25	24	ralrimiva 2530	. . . . 5 |- ( N e. NN -> A. j e. ( 1 ... N )DECID j e. { x e. NN | x || N } )
26		ssfidc 6876	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) /\ A. j e. ( 1 ... N )DECID j e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
27	12, 13, 25, 26	syl3anc 1220	. . . 4 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
28		0z 9172	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
29		fzofig 10324	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
30	28, 11, 29	sylancr 411	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. Fin )
31	30	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
32		ssrab2 3213	. . . . . 6 |- { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N )
33	32	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N ) )
34		elfzoelz 10039	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ZZ )
35	34	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. ZZ )
36	11	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
37	35, 36	gcdcld 11843	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. NN0 )
38	37	nn0zd 9278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. ZZ )
39		elrabi 2865	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. NN | x || N } -> y e. NN )
40	39	ad2antlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> y e. NN )
41	40	nnzd 9279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> y e. ZZ )
42		zdceq 9233	. . . . . . . 8 |- ( ( ( j gcd N ) e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> DECID ( j gcd N ) = y )
43	38, 41, 42	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID ( j gcd N ) = y )
44		ibar 299	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( ( j gcd N ) = y <-> ( j e. ( 0..^ N ) /\ ( j gcd N ) = y ) ) )
45		oveq1 5828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = j -> ( z gcd N ) = ( j gcd N ) )
46	45	eqeq1d 2166	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = j -> ( ( z gcd N ) = y <-> ( j gcd N ) = y ) )
47	46	elrab 2868	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } <-> ( j e. ( 0..^ N ) /\ ( j gcd N ) = y ) )
48	44, 47	bitr4di 197	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( ( j gcd N ) = y <-> j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
49	48	dcbid 824	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> (DECID ( j gcd N ) = y <-> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
50	49	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> (DECID ( j gcd N ) = y <-> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
51	43, 50	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
52	51	ralrimiva 2530	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
53		ssfidc 6876	. . . . 5 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N ) /\ A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } e. Fin )
54	31, 33, 52, 53	syl3anc 1220	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } e. Fin )
55		oveq1 5828	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( z gcd N ) = ( w gcd N ) )
56	55	eqeq1d 2166	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( ( z gcd N ) = y <-> ( w gcd N ) = y ) )
57	56	elrab 2868	. . . . . . . 8 |- ( w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } <-> ( w e. ( 0..^ N ) /\ ( w gcd N ) = y ) )
58	57	simprbi 273	. . . . . . 7 |- ( w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } -> ( w gcd N ) = y )
59	58	rgen 2510	. . . . . 6 |- A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y
60	59	rgenw 2512	. . . . 5 |- A. y e. { x e. NN | x || N } A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y
61		invdisj 3959	. . . . 5 |- ( A. y e. { x e. NN | x || N } A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y -> Disj y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
62	60, 61	mp1i 10	. . . 4 |- ( N e. NN -> Disj y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
63	27, 54, 62	hashiun 11368	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
64		fveq2 5467	. . . 4 |- ( d = ( N / y ) -> ( phi ` d ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
65		eqid 2157	. . . . 5 |- { x e. NN | x || N } = { x e. NN | x || N }
66		eqid 2157	. . . . 5 |- ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) )
67	65, 66	dvdsflip 11735	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
68		oveq2 5829	. . . . 5 |- ( z = y -> ( N / z ) = ( N / y ) )
69		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> y e. { x e. NN | x || N } )
70	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> N e. ZZ )
71	39	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> y e. NN )
72		znq 9526	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( N / y ) e. QQ )
73	70, 71, 72	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / y ) e. QQ )
74	66, 68, 69, 73	fvmptd3 5560	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` y ) = ( N / y ) )
75		elrabi 2865	. . . . . . 7 |- ( d e. { x e. NN | x || N } -> d e. NN )
76	75	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> d e. NN )
77	76	phicld 12081	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> ( phi ` d ) e. NN )
78	77	nncnd 8841	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> ( phi ` d ) e. CC )
79	64, 27, 67, 74, 78	fsumf1o 11280	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } ( phi ` ( N / y ) ) )
80	9, 63, 79	3eqtr4rd 2201	. 2 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
81		iunrab 3896	. . . . 5 |- U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y }
82		breq1 3968	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( z gcd N ) -> ( x || N <-> ( z gcd N ) || N ) )
83		elfzoelz 10039	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( 0..^ N ) -> z e. ZZ )
84	83	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> z e. ZZ )
85	11	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
86		nnne0 8855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
87	86	neneqd 2348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
88	87	intnand 917	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> -. ( z = 0 /\ N = 0 ) )
89	88	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> -. ( z = 0 /\ N = 0 ) )
90		gcdn0cl 11837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( z = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( z gcd N ) e. NN )
91	84, 85, 89, 90	syl21anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) e. NN )
92		gcddvds 11838	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( z gcd N ) || z /\ ( z gcd N ) || N ) )
93	84, 85, 92	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( z gcd N ) || z /\ ( z gcd N ) || N ) )
94	93	simprd 113	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) || N )
95	82, 91, 94	elrabd 2870	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) e. { x e. NN | x || N } )
96		clel5 2849	. . . . . . . 8 |- ( ( z gcd N ) e. { x e. NN | x || N } <-> E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
97	95, 96	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
98	97	ralrimiva 2530	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> A. z e. ( 0..^ N ) E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
99		rabid2 2633	. . . . . 6 |- ( ( 0..^ N ) = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y } <-> A. z e. ( 0..^ N ) E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
100	98, 99	sylibr 133	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y } )
101	81, 100	eqtr4id 2209	. . . 4 |- ( N e. NN -> U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } = ( 0..^ N ) )
102	101	fveq2d 5471	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = (♯ ` ( 0..^ N ) ) )
103		nnnn0 9091	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
104		hashfzo0 10690	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
105	103, 104	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
106	102, 105	eqtrd 2190	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = N )
107	80, 106	eqtrd 2190	1 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   {crab 2439   C_ wss 3102   ifcif 3505   U_ciun 3849  Disj wdisj 3942   class class class wbr 3965   |-> cmpt 4025   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   Fincfn 6682   0cc0 7726   1c1 7727   / cdiv 8539   NNcn 8827   NN0cn0 9084   ZZcz 9161   QQcq 9521   ...cfz 9905  ..^cfzo 10034  ♯chash 10642   sum_csu 11243   || cdvds 11676   gcd cgcd 11821   phicphi 12073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-sup 6924  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-fl 10162  df-mod 10215  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-ihash 10643  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-sumdc 11244  df-dvds 11677  df-gcd 11822  df-phi 12074

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