ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phisum Unicode version

Theorem phisum 12234
Description: The divisor sum identity of the totient function. Theorem 2.2 in [ApostolNT] p. 26. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
phisum  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  N )
Distinct variable group:    x, N, d

Proof of Theorem phisum
Dummy variables  z  y  w  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4006 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ||  N  <->  y  ||  N ) )
21elrab 2893 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )
3 hashgcdeq 12233 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( `  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )  =  if ( y  ||  N ,  ( phi `  ( N  /  y
) ) ,  0 ) )
43adantrr 479 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  ( `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  if ( y 
||  N ,  ( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 ) )
5 iftrue 3539 . . . . . . 7  |-  ( y 
||  N  ->  if ( y  ||  N ,  ( phi `  ( N  /  y
) ) ,  0 )  =  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
65ad2antll 491 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  if (
y  ||  N , 
( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
74, 6eqtrd 2210 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  ( `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
82, 7sylan2b 287 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( `  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } )  =  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
98sumeq2dv 11371 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( `  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )  =  sum_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
10 1zzd 9278 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
11 nnz 9270 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1210, 11fzfigd 10428 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
13 dvdsssfz1 11852 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
14 elfznn 10051 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  j  e.  NN )
15 dvdsdc 11800 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  j 
||  N )
1614, 11, 15syl2anr 290 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  -> DECID 
j  ||  N )
17 ibar 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  ||  N  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  N ) ) )
1814, 17syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  (
j  ||  N  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  N ) ) )
19 breq1 4006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  N  <->  j  ||  N ) )
2019elrab 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  N ) )
2118, 20bitr4di 198 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  (
j  ||  N  <->  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )
2221dcbid 838 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  (DECID  j  ||  N  <-> DECID  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )
2322adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  (DECID  j  ||  N  <-> DECID  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )
2416, 23mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  -> DECID 
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
2524ralrimiva 2550 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  A. j  e.  ( 1 ... N
)DECID  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
26 ssfidc 6933 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
)  /\  A. j  e.  ( 1 ... N
)DECID  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
2712, 13, 25, 26syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
28 0z 9262 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
29 fzofig 10429 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
3028, 11, 29sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ N )  e. 
Fin )
3130adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  (
0..^ N )  e. 
Fin )
32 ssrab2 3240 . . . . . 6  |-  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  C_  (
0..^ N )
3332a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  C_  (
0..^ N ) )
34 elfzoelz 10144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  j  e.  ZZ )
3534adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  j  e.  ZZ )
3611ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
3735, 36gcdcld 11963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( j  gcd  N )  e.  NN0 )
3837nn0zd 9371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( j  gcd  N )  e.  ZZ )
39 elrabi 2890 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  y  e.  NN )
4039ad2antlr 489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  y  e.  NN )
4140nnzd 9372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  y  e.  ZZ )
42 zdceq 9326 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> DECID  ( j  gcd  N )  =  y )
4338, 41, 42syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  -> DECID  ( j  gcd  N
)  =  y )
44 ibar 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  ( (
j  gcd  N )  =  y  <->  ( j  e.  ( 0..^ N )  /\  ( j  gcd 
N )  =  y ) ) )
45 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  j  ->  (
z  gcd  N )  =  ( j  gcd 
N ) )
4645eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  j  ->  (
( z  gcd  N
)  =  y  <->  ( j  gcd  N )  =  y ) )
4746elrab 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  <->  ( j  e.  ( 0..^ N )  /\  ( j  gcd 
N )  =  y ) )
4844, 47bitr4di 198 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  ( (
j  gcd  N )  =  y  <->  j  e.  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } ) )
4948dcbid 838 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  (DECID  ( j  gcd  N )  =  y  <-> DECID  j  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } ) )
5049adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  (DECID  ( j  gcd  N )  =  y  <-> DECID  j  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } ) )
5143, 50mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  -> DECID  j  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )
5251ralrimiva 2550 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A. j  e.  ( 0..^ N )DECID  j  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )
53 ssfidc 6933 . . . . 5  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  C_  ( 0..^ N )  /\  A. j  e.  ( 0..^ N )DECID  j  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  ->  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  e.  Fin )
5431, 33, 52, 53syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  e.  Fin )
55 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
5655eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  gcd  N
)  =  y  <->  ( w  gcd  N )  =  y ) )
5756elrab 2893 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  <->  ( w  e.  ( 0..^ N )  /\  ( w  gcd  N )  =  y ) )
5857simprbi 275 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  ->  ( w  gcd  N )  =  y )
5958rgen 2530 . . . . . 6  |-  A. w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  ( w  gcd  N
)  =  y
6059rgenw 2532 . . . . 5  |-  A. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  ( w  gcd  N )  =  y
61 invdisj 3997 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. w  e. 
{ z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  ( w  gcd  N
)  =  y  -> Disj  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )
6260, 61mp1i 10 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  -> Disj  y  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } )
6327, 54, 62hashiun 11481 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ` 
U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  sum_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( `  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } ) )
64 fveq2 5515 . . . 4  |-  ( d  =  ( N  / 
y )  ->  ( phi `  d )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
65 eqid 2177 . . . . 5  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }
66 eqid 2177 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) )  =  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z
) )
6765, 66dvdsflip 11851 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  N } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
68 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( N  /  z )  =  ( N  /  y
) )
69 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
7011adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  ZZ )
7139adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  y  e.  NN )
72 znq 9622 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( N  /  y
)  e.  QQ )
7370, 71, 72syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  y )  e.  QQ )
7466, 68, 69, 73fvmptd3 5609 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  (
( z  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `  y )  =  ( N  / 
y ) )
75 elrabi 2890 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  d  e.  NN )
7675adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  d  e.  NN )
7776phicld 12212 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( phi `  d )  e.  NN )
7877nncnd 8931 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( phi `  d )  e.  CC )
7964, 27, 67, 74, 78fsumf1o 11393 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  sum_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  ( N  /  y ) ) )
809, 63, 793eqtr4rd 2221 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  ( `  U_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } ) )
81 iunrab 3934 . . . . 5  |-  U_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( z  gcd  N
)  =  y }
82 breq1 4006 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( z  gcd 
N )  ->  (
x  ||  N  <->  ( z  gcd  N )  ||  N
) )
83 elfzoelz 10144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( 0..^ N )  ->  z  e.  ZZ )
8483adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
z  e.  ZZ )
8511adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
86 nnne0 8945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
8786neneqd 2368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
8887intnand 931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )
8988adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )
90 gcdn0cl 11957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( z  gcd 
N )  e.  NN )
9184, 85, 89, 90syl21anc 1237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  e.  NN )
92 gcddvds 11958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( z  gcd 
N )  ||  z  /\  ( z  gcd  N
)  ||  N )
)
9384, 85, 92syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( z  gcd 
N )  ||  z  /\  ( z  gcd  N
)  ||  N )
)
9493simprd 114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  ||  N )
9582, 91, 94elrabd 2895 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
96 clel5 2874 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  gcd  N )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
9795, 96sylib 122 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  E. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( z  gcd  N )  =  y )
9897ralrimiva 2550 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  A. z  e.  ( 0..^ N ) E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
99 rabid2 2653 . . . . . 6  |-  ( ( 0..^ N )  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y }  <->  A. z  e.  ( 0..^ N ) E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
10098, 99sylibr 134 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ N )  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y } )
10181, 100eqtr4id 2229 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  U_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  =  ( 0..^ N ) )
102101fveq2d 5519 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ` 
U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  ( `  (
0..^ N ) ) )
103 nnnn0 9181 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
104 hashfzo0 10798 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( `  (
0..^ N ) )  =  N )
105103, 104syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  ( 0..^ N ) )  =  N )
106102, 105eqtrd 2210 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ` 
U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  N )
10780, 106eqtrd 2210 1  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459    C_ wss 3129   ifcif 3534   U_ciun 3886  Disj wdisj 3980   class class class wbr 4003    |-> cmpt 4064   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Fincfn 6739   0cc0 7810   1c1 7811    / cdiv 8627   NNcn 8917   NN0cn0 9174   ZZcz 9251   QQcq 9617   ...cfz 10006  ..^cfzo 10139  ♯chash 10750   sum_csu 11356    || cdvds 11789    gcd cgcd 11937   phicphi 12203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3981  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-fl 10267  df-mod 10320  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-ihash 10751  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-sumdc 11357  df-dvds 11790  df-gcd 11938  df-phi 12205
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator