Theorem phisum 12938

Description: The divisor sum identity of the totient function. Theorem 2.2 in [ApostolNT] p. 26. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phisum	|- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = N )

Distinct variable group:   x, N, d

Proof of Theorem phisum

Dummy variables z y w j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4112	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x || N <-> y || N ) )
2	1	elrab 2973	. . . . 5 |- ( y e. { x e. NN | x || N } <-> ( y e. NN /\ y || N ) )
3		hashgcdeq 12937	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ y e. NN ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) )
4	3	adantrr 479	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) )
5		iftrue 3627	. . . . . . 7 |- ( y || N -> if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
6	5	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
7	4, 6	eqtrd 2265	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
8	2, 7	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
9	8	sumeq2dv 12053	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ y e. { x e. NN | x || N } (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } ( phi ` ( N / y ) ) )
10		dvdsfi 12936	. . . 4 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
11		0z 9588	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
12		nnz 9596	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
13		fzofig 10794	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
14	11, 12, 13	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. Fin )
15	14	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
16		ssrab2 3323	. . . . . 6 |- { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N )
17	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N ) )
18		elfzoelz 10481	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ZZ )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. ZZ )
20	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
21	19, 20	gcdcld 12664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 9698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. ZZ )
23		elrabi 2970	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. NN | x || N } -> y e. NN )
24	23	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> y e. NN )
25	24	nnzd 9699	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> y e. ZZ )
26		zdceq 9653	. . . . . . . 8 |- ( ( ( j gcd N ) e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> DECID ( j gcd N ) = y )
27	22, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID ( j gcd N ) = y )
28		oveq1 6057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = j -> ( z gcd N ) = ( j gcd N ) )
29	28	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = j -> ( ( z gcd N ) = y <-> ( j gcd N ) = y ) )
30	29	elrab 2973	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } <-> ( j e. ( 0..^ N ) /\ ( j gcd N ) = y ) )
31	30	baibr 928	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( ( j gcd N ) = y <-> j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
32	31	dcbid 846	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> (DECID ( j gcd N ) = y <-> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
33	32	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> (DECID ( j gcd N ) = y <-> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
34	27, 33	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
35	34	ralrimiva 2615	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
36		ssfidc 7198	. . . . 5 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N ) /\ A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } e. Fin )
37	15, 17, 35, 36	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } e. Fin )
38		oveq1 6057	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( z gcd N ) = ( w gcd N ) )
39	38	eqeq1d 2241	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( ( z gcd N ) = y <-> ( w gcd N ) = y ) )
40	39	elrab 2973	. . . . . . . 8 |- ( w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } <-> ( w e. ( 0..^ N ) /\ ( w gcd N ) = y ) )
41	40	simprbi 275	. . . . . . 7 |- ( w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } -> ( w gcd N ) = y )
42	41	rgen 2595	. . . . . 6 |- A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y
43	42	rgenw 2597	. . . . 5 |- A. y e. { x e. NN | x || N } A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y
44		invdisj 4102	. . . . 5 |- ( A. y e. { x e. NN | x || N } A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y -> Disj y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
45	43, 44	mp1i 10	. . . 4 |- ( N e. NN -> Disj y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
46	10, 37, 45	hashiun 12164	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
47		fveq2 5670	. . . 4 |- ( d = ( N / y ) -> ( phi ` d ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
48		eqid 2232	. . . . 5 |- { x e. NN | x || N } = { x e. NN | x || N }
49		eqid 2232	. . . . 5 |- ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) )
50	48, 49	dvdsflip 12537	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
51		oveq2 6058	. . . . 5 |- ( z = y -> ( N / z ) = ( N / y ) )
52		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> y e. { x e. NN | x || N } )
53	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> N e. ZZ )
54	23	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> y e. NN )
55		znq 9956	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( N / y ) e. QQ )
56	53, 54, 55	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / y ) e. QQ )
57	49, 51, 52, 56	fvmptd3 5771	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` y ) = ( N / y ) )
58		elrabi 2970	. . . . . . 7 |- ( d e. { x e. NN | x || N } -> d e. NN )
59	58	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> d e. NN )
60	59	phicld 12915	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> ( phi ` d ) e. NN )
61	60	nncnd 9251	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> ( phi ` d ) e. CC )
62	47, 10, 50, 57, 61	fsumf1o 12076	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } ( phi ` ( N / y ) ) )
63	9, 46, 62	3eqtr4rd 2276	. 2 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
64		iunrab 4039	. . . . 5 |- U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y }
65		breq1 4112	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( z gcd N ) -> ( x || N <-> ( z gcd N ) || N ) )
66		elfzoelz 10481	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( 0..^ N ) -> z e. ZZ )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> z e. ZZ )
68	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
69		nnne0 9265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
70	69	neneqd 2433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
71	70	intnand 939	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> -. ( z = 0 /\ N = 0 ) )
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> -. ( z = 0 /\ N = 0 ) )
73		gcdn0cl 12658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( z = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( z gcd N ) e. NN )
74	67, 68, 72, 73	syl21anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) e. NN )
75		gcddvds 12659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( z gcd N ) || z /\ ( z gcd N ) || N ) )
76	67, 68, 75	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( z gcd N ) || z /\ ( z gcd N ) || N ) )
77	76	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) || N )
78	65, 74, 77	elrabd 2975	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) e. { x e. NN | x || N } )
79		clel5 2954	. . . . . . . 8 |- ( ( z gcd N ) e. { x e. NN | x || N } <-> E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
80	78, 79	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
81	80	ralrimiva 2615	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> A. z e. ( 0..^ N ) E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
82		rabid2 2721	. . . . . 6 |- ( ( 0..^ N ) = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y } <-> A. z e. ( 0..^ N ) E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
83	81, 82	sylibr 134	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y } )
84	64, 83	eqtr4id 2284	. . . 4 |- ( N e. NN -> U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } = ( 0..^ N ) )
85	84	fveq2d 5674	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = (♯ ` ( 0..^ N ) ) )
86		nnnn0 9503	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
87		hashfzo0 11188	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
88	86, 87	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
89	85, 88	eqtrd 2265	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = N )
90	63, 89	eqtrd 2265	1 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   C_ wss 3211   ifcif 3620   U_ciun 3991  Disj wdisj 4085   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Fincfn 6975   0cc0 8127   / cdiv 8946   NNcn 9237   NN0cn0 9496   ZZcz 9577   QQcq 9951  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138   sum_csu 12038   || cdvds 12473   gcd cgcd 12649   phicphi 12906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-disj 4086  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039  df-dvds 12474  df-gcd 12650  df-phi 12908

This theorem is referenced by: (None)