ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phisum Unicode version

Theorem phisum 12119
Description: The divisor sum identity of the totient function. Theorem 2.2 in [ApostolNT] p. 26. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
phisum  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  N )
Distinct variable group:    x, N, d

Proof of Theorem phisum
Dummy variables  z  y  w  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 3969 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ||  N  <->  y  ||  N ) )
21elrab 2868 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )
3 hashgcdeq 12118 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( `  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )  =  if ( y  ||  N ,  ( phi `  ( N  /  y
) ) ,  0 ) )
43adantrr 471 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  ( `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  if ( y 
||  N ,  ( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 ) )
5 iftrue 3510 . . . . . . 7  |-  ( y 
||  N  ->  if ( y  ||  N ,  ( phi `  ( N  /  y
) ) ,  0 )  =  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
65ad2antll 483 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  if (
y  ||  N , 
( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
74, 6eqtrd 2190 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  ( `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
82, 7sylan2b 285 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( `  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } )  =  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
98sumeq2dv 11269 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( `  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )  =  sum_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
10 1zzd 9195 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
11 nnz 9187 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1210, 11fzfigd 10334 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
13 dvdsssfz1 11748 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
14 elfznn 9957 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  j  e.  NN )
15 dvdsdc 11698 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  j 
||  N )
1614, 11, 15syl2anr 288 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  -> DECID 
j  ||  N )
17 ibar 299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  ||  N  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  N ) ) )
1814, 17syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  (
j  ||  N  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  N ) ) )
19 breq1 3969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  N  <->  j  ||  N ) )
2019elrab 2868 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  N ) )
2118, 20bitr4di 197 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  (
j  ||  N  <->  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )
2221dcbid 824 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  (DECID  j  ||  N  <-> DECID  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )
2322adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  (DECID  j  ||  N  <-> DECID  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )
2416, 23mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  -> DECID 
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
2524ralrimiva 2530 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  A. j  e.  ( 1 ... N
)DECID  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
26 ssfidc 6880 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
)  /\  A. j  e.  ( 1 ... N
)DECID  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
2712, 13, 25, 26syl3anc 1220 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
28 0z 9179 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
29 fzofig 10335 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
3028, 11, 29sylancr 411 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ N )  e. 
Fin )
3130adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  (
0..^ N )  e. 
Fin )
32 ssrab2 3213 . . . . . 6  |-  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  C_  (
0..^ N )
3332a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  C_  (
0..^ N ) )
34 elfzoelz 10050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  j  e.  ZZ )
3534adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  j  e.  ZZ )
3611ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
3735, 36gcdcld 11856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( j  gcd  N )  e.  NN0 )
3837nn0zd 9285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( j  gcd  N )  e.  ZZ )
39 elrabi 2865 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  y  e.  NN )
4039ad2antlr 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  y  e.  NN )
4140nnzd 9286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  y  e.  ZZ )
42 zdceq 9240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> DECID  ( j  gcd  N )  =  y )
4338, 41, 42syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  -> DECID  ( j  gcd  N
)  =  y )
44 ibar 299 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  ( (
j  gcd  N )  =  y  <->  ( j  e.  ( 0..^ N )  /\  ( j  gcd 
N )  =  y ) ) )
45 oveq1 5832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  j  ->  (
z  gcd  N )  =  ( j  gcd 
N ) )
4645eqeq1d 2166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  j  ->  (
( z  gcd  N
)  =  y  <->  ( j  gcd  N )  =  y ) )
4746elrab 2868 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  <->  ( j  e.  ( 0..^ N )  /\  ( j  gcd 
N )  =  y ) )
4844, 47bitr4di 197 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  ( (
j  gcd  N )  =  y  <->  j  e.  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } ) )
4948dcbid 824 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  (DECID  ( j  gcd  N )  =  y  <-> DECID  j  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } ) )
5049adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  (DECID  ( j  gcd  N )  =  y  <-> DECID  j  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } ) )
5143, 50mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  -> DECID  j  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )
5251ralrimiva 2530 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A. j  e.  ( 0..^ N )DECID  j  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )
53 ssfidc 6880 . . . . 5  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  C_  ( 0..^ N )  /\  A. j  e.  ( 0..^ N )DECID  j  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  ->  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  e.  Fin )
5431, 33, 52, 53syl3anc 1220 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  e.  Fin )
55 oveq1 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
5655eqeq1d 2166 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  gcd  N
)  =  y  <->  ( w  gcd  N )  =  y ) )
5756elrab 2868 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  <->  ( w  e.  ( 0..^ N )  /\  ( w  gcd  N )  =  y ) )
5857simprbi 273 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  ->  ( w  gcd  N )  =  y )
5958rgen 2510 . . . . . 6  |-  A. w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  ( w  gcd  N
)  =  y
6059rgenw 2512 . . . . 5  |-  A. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  ( w  gcd  N )  =  y
61 invdisj 3960 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. w  e. 
{ z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  ( w  gcd  N
)  =  y  -> Disj  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )
6260, 61mp1i 10 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  -> Disj  y  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } )
6327, 54, 62hashiun 11379 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ` 
U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  sum_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( `  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } ) )
64 fveq2 5469 . . . 4  |-  ( d  =  ( N  / 
y )  ->  ( phi `  d )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
65 eqid 2157 . . . . 5  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }
66 eqid 2157 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) )  =  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z
) )
6765, 66dvdsflip 11747 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  N } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
68 oveq2 5833 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( N  /  z )  =  ( N  /  y
) )
69 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
7011adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  ZZ )
7139adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  y  e.  NN )
72 znq 9534 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( N  /  y
)  e.  QQ )
7370, 71, 72syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  y )  e.  QQ )
7466, 68, 69, 73fvmptd3 5562 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  (
( z  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `  y )  =  ( N  / 
y ) )
75 elrabi 2865 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  d  e.  NN )
7675adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  d  e.  NN )
7776phicld 12097 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( phi `  d )  e.  NN )
7877nncnd 8848 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( phi `  d )  e.  CC )
7964, 27, 67, 74, 78fsumf1o 11291 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  sum_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  ( N  /  y ) ) )
809, 63, 793eqtr4rd 2201 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  ( `  U_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } ) )
81 iunrab 3897 . . . . 5  |-  U_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( z  gcd  N
)  =  y }
82 breq1 3969 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( z  gcd 
N )  ->  (
x  ||  N  <->  ( z  gcd  N )  ||  N
) )
83 elfzoelz 10050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( 0..^ N )  ->  z  e.  ZZ )
8483adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
z  e.  ZZ )
8511adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
86 nnne0 8862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
8786neneqd 2348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
8887intnand 917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )
8988adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )
90 gcdn0cl 11850 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( z  gcd 
N )  e.  NN )
9184, 85, 89, 90syl21anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  e.  NN )
92 gcddvds 11851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( z  gcd 
N )  ||  z  /\  ( z  gcd  N
)  ||  N )
)
9384, 85, 92syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( z  gcd 
N )  ||  z  /\  ( z  gcd  N
)  ||  N )
)
9493simprd 113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  ||  N )
9582, 91, 94elrabd 2870 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
96 clel5 2849 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  gcd  N )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
9795, 96sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  E. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( z  gcd  N )  =  y )
9897ralrimiva 2530 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  A. z  e.  ( 0..^ N ) E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
99 rabid2 2633 . . . . . 6  |-  ( ( 0..^ N )  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y }  <->  A. z  e.  ( 0..^ N ) E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
10098, 99sylibr 133 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ N )  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y } )
10181, 100eqtr4id 2209 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  U_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  =  ( 0..^ N ) )
102101fveq2d 5473 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ` 
U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  ( `  (
0..^ N ) ) )
103 nnnn0 9098 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
104 hashfzo0 10701 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( `  (
0..^ N ) )  =  N )
105103, 104syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `  ( 0..^ N ) )  =  N )
106102, 105eqtrd 2190 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ` 
U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  N )
10780, 106eqtrd 2190 1  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 820    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   {crab 2439    C_ wss 3102   ifcif 3505   U_ciun 3850  Disj wdisj 3943   class class class wbr 3966    |-> cmpt 4026   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   Fincfn 6686   0cc0 7733   1c1 7734    / cdiv 8546   NNcn 8834   NN0cn0 9091   ZZcz 9168   QQcq 9529   ...cfz 9913  ..^cfzo 10045  ♯chash 10653   sum_csu 11254    || cdvds 11687    gcd cgcd 11833   phicphi 12088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-disj 3944  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-sup 6929  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-fl 10173  df-mod 10226  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-ihash 10654  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-sumdc 11255  df-dvds 11688  df-gcd 11834  df-phi 12090
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator