Theorem phisum 12381

Description: The divisor sum identity of the totient function. Theorem 2.2 in [ApostolNT] p. 26. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phisum	|- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = N )

Distinct variable group:   x, N, d

Proof of Theorem phisum

Dummy variables z y w j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4033	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x || N <-> y || N ) )
2	1	elrab 2917	. . . . 5 |- ( y e. { x e. NN | x || N } <-> ( y e. NN /\ y || N ) )
3		hashgcdeq 12380	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ y e. NN ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) )
4	3	adantrr 479	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) )
5		iftrue 3563	. . . . . . 7 |- ( y || N -> if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
6	5	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
7	4, 6	eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
8	2, 7	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
9	8	sumeq2dv 11514	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ y e. { x e. NN | x || N } (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } ( phi ` ( N / y ) ) )
10		1zzd 9347	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
11		nnz 9339	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
12	10, 11	fzfigd 10505	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 ... N ) e. Fin )
13		dvdsssfz1 11997	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
14		elfznn 10123	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. NN )
15		dvdsdc 11944	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID j || N )
16	14, 11, 15	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> DECID j || N )
17		ibar 301	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( j || N <-> ( j e. NN /\ j || N ) ) )
18	14, 17	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> ( j || N <-> ( j e. NN /\ j || N ) ) )
19		breq1 4033	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = j -> ( x || N <-> j || N ) )
20	19	elrab 2917	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. { x e. NN | x || N } <-> ( j e. NN /\ j || N ) )
21	18, 20	bitr4di 198	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> ( j || N <-> j e. { x e. NN | x || N } ) )
22	21	dcbid 839	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> (DECID j || N <-> DECID j e. { x e. NN | x || N } ) )
23	22	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> (DECID j || N <-> DECID j e. { x e. NN | x || N } ) )
24	16, 23	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> DECID j e. { x e. NN | x || N } )
25	24	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( N e. NN -> A. j e. ( 1 ... N )DECID j e. { x e. NN | x || N } )
26		ssfidc 6993	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) /\ A. j e. ( 1 ... N )DECID j e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
27	12, 13, 25, 26	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
28		0z 9331	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
29		fzofig 10506	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
30	28, 11, 29	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. Fin )
31	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
32		ssrab2 3265	. . . . . 6 |- { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N )
33	32	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N ) )
34		elfzoelz 10216	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ZZ )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. ZZ )
36	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
37	35, 36	gcdcld 12108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. NN0 )
38	37	nn0zd 9440	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. ZZ )
39		elrabi 2914	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. NN | x || N } -> y e. NN )
40	39	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> y e. NN )
41	40	nnzd 9441	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> y e. ZZ )
42		zdceq 9395	. . . . . . . 8 |- ( ( ( j gcd N ) e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> DECID ( j gcd N ) = y )
43	38, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID ( j gcd N ) = y )
44		ibar 301	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( ( j gcd N ) = y <-> ( j e. ( 0..^ N ) /\ ( j gcd N ) = y ) ) )
45		oveq1 5926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = j -> ( z gcd N ) = ( j gcd N ) )
46	45	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = j -> ( ( z gcd N ) = y <-> ( j gcd N ) = y ) )
47	46	elrab 2917	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } <-> ( j e. ( 0..^ N ) /\ ( j gcd N ) = y ) )
48	44, 47	bitr4di 198	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( ( j gcd N ) = y <-> j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
49	48	dcbid 839	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> (DECID ( j gcd N ) = y <-> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> (DECID ( j gcd N ) = y <-> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
51	43, 50	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
52	51	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
53		ssfidc 6993	. . . . 5 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N ) /\ A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } e. Fin )
54	31, 33, 52, 53	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } e. Fin )
55		oveq1 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( z gcd N ) = ( w gcd N ) )
56	55	eqeq1d 2202	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( ( z gcd N ) = y <-> ( w gcd N ) = y ) )
57	56	elrab 2917	. . . . . . . 8 |- ( w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } <-> ( w e. ( 0..^ N ) /\ ( w gcd N ) = y ) )
58	57	simprbi 275	. . . . . . 7 |- ( w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } -> ( w gcd N ) = y )
59	58	rgen 2547	. . . . . 6 |- A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y
60	59	rgenw 2549	. . . . 5 |- A. y e. { x e. NN | x || N } A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y
61		invdisj 4024	. . . . 5 |- ( A. y e. { x e. NN | x || N } A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y -> Disj y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
62	60, 61	mp1i 10	. . . 4 |- ( N e. NN -> Disj y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
63	27, 54, 62	hashiun 11624	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
64		fveq2 5555	. . . 4 |- ( d = ( N / y ) -> ( phi ` d ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
65		eqid 2193	. . . . 5 |- { x e. NN | x || N } = { x e. NN | x || N }
66		eqid 2193	. . . . 5 |- ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) )
67	65, 66	dvdsflip 11996	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
68		oveq2 5927	. . . . 5 |- ( z = y -> ( N / z ) = ( N / y ) )
69		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> y e. { x e. NN | x || N } )
70	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> N e. ZZ )
71	39	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> y e. NN )
72		znq 9692	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( N / y ) e. QQ )
73	70, 71, 72	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / y ) e. QQ )
74	66, 68, 69, 73	fvmptd3 5652	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` y ) = ( N / y ) )
75		elrabi 2914	. . . . . . 7 |- ( d e. { x e. NN | x || N } -> d e. NN )
76	75	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> d e. NN )
77	76	phicld 12359	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> ( phi ` d ) e. NN )
78	77	nncnd 8998	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> ( phi ` d ) e. CC )
79	64, 27, 67, 74, 78	fsumf1o 11536	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } ( phi ` ( N / y ) ) )
80	9, 63, 79	3eqtr4rd 2237	. 2 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
81		iunrab 3961	. . . . 5 |- U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y }
82		breq1 4033	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( z gcd N ) -> ( x || N <-> ( z gcd N ) || N ) )
83		elfzoelz 10216	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( 0..^ N ) -> z e. ZZ )
84	83	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> z e. ZZ )
85	11	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
86		nnne0 9012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
87	86	neneqd 2385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
88	87	intnand 932	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> -. ( z = 0 /\ N = 0 ) )
89	88	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> -. ( z = 0 /\ N = 0 ) )
90		gcdn0cl 12102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( z = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( z gcd N ) e. NN )
91	84, 85, 89, 90	syl21anc 1248	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) e. NN )
92		gcddvds 12103	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( z gcd N ) || z /\ ( z gcd N ) || N ) )
93	84, 85, 92	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( z gcd N ) || z /\ ( z gcd N ) || N ) )
94	93	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) || N )
95	82, 91, 94	elrabd 2919	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) e. { x e. NN | x || N } )
96		clel5 2898	. . . . . . . 8 |- ( ( z gcd N ) e. { x e. NN | x || N } <-> E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
97	95, 96	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
98	97	ralrimiva 2567	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> A. z e. ( 0..^ N ) E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
99		rabid2 2671	. . . . . 6 |- ( ( 0..^ N ) = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y } <-> A. z e. ( 0..^ N ) E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
100	98, 99	sylibr 134	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y } )
101	81, 100	eqtr4id 2245	. . . 4 |- ( N e. NN -> U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } = ( 0..^ N ) )
102	101	fveq2d 5559	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = (♯ ` ( 0..^ N ) ) )
103		nnnn0 9250	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
104		hashfzo0 10897	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
105	103, 104	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
106	102, 105	eqtrd 2226	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = N )
107	80, 106	eqtrd 2226	1 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   C_ wss 3154   ifcif 3558   U_ciun 3913  Disj wdisj 4007   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Fincfn 6796   0cc0 7874   1c1 7875   / cdiv 8693   NNcn 8984   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   QQcq 9687   ...cfz 10077  ..^cfzo 10211  ♯chash 10849   sum_csu 11499   || cdvds 11933   gcd cgcd 12082   phicphi 12350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-disj 4008  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-sup 7045  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-fl 10342  df-mod 10397  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-dvds 11934  df-gcd 12083  df-phi 12352

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