Theorem phisum 12223

Description: The divisor sum identity of the totient function. Theorem 2.2 in [ApostolNT] p. 26. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phisum	|- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = N )

Distinct variable group:   x, N, d

Proof of Theorem phisum

Dummy variables z y w j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4003	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x || N <-> y || N ) )
2	1	elrab 2893	. . . . 5 |- ( y e. { x e. NN | x || N } <-> ( y e. NN /\ y || N ) )
3		hashgcdeq 12222	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ y e. NN ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) )
4	3	adantrr 479	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) )
5		iftrue 3539	. . . . . . 7 |- ( y || N -> if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
6	5	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
7	4, 6	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
8	2, 7	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
9	8	sumeq2dv 11360	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ y e. { x e. NN | x || N } (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } ( phi ` ( N / y ) ) )
10		1zzd 9269	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
11		nnz 9261	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
12	10, 11	fzfigd 10417	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 ... N ) e. Fin )
13		dvdsssfz1 11841	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
14		elfznn 10040	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. NN )
15		dvdsdc 11789	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID j || N )
16	14, 11, 15	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> DECID j || N )
17		ibar 301	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( j || N <-> ( j e. NN /\ j || N ) ) )
18	14, 17	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> ( j || N <-> ( j e. NN /\ j || N ) ) )
19		breq1 4003	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = j -> ( x || N <-> j || N ) )
20	19	elrab 2893	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. { x e. NN | x || N } <-> ( j e. NN /\ j || N ) )
21	18, 20	bitr4di 198	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> ( j || N <-> j e. { x e. NN | x || N } ) )
22	21	dcbid 838	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> (DECID j || N <-> DECID j e. { x e. NN | x || N } ) )
23	22	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> (DECID j || N <-> DECID j e. { x e. NN | x || N } ) )
24	16, 23	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> DECID j e. { x e. NN | x || N } )
25	24	ralrimiva 2550	. . . . 5 |- ( N e. NN -> A. j e. ( 1 ... N )DECID j e. { x e. NN | x || N } )
26		ssfidc 6928	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) /\ A. j e. ( 1 ... N )DECID j e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
27	12, 13, 25, 26	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
28		0z 9253	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
29		fzofig 10418	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
30	28, 11, 29	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. Fin )
31	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
32		ssrab2 3240	. . . . . 6 |- { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N )
33	32	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N ) )
34		elfzoelz 10133	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ZZ )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. ZZ )
36	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
37	35, 36	gcdcld 11952	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. NN0 )
38	37	nn0zd 9362	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. ZZ )
39		elrabi 2890	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. NN | x || N } -> y e. NN )
40	39	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> y e. NN )
41	40	nnzd 9363	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> y e. ZZ )
42		zdceq 9317	. . . . . . . 8 |- ( ( ( j gcd N ) e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> DECID ( j gcd N ) = y )
43	38, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID ( j gcd N ) = y )
44		ibar 301	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( ( j gcd N ) = y <-> ( j e. ( 0..^ N ) /\ ( j gcd N ) = y ) ) )
45		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = j -> ( z gcd N ) = ( j gcd N ) )
46	45	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = j -> ( ( z gcd N ) = y <-> ( j gcd N ) = y ) )
47	46	elrab 2893	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } <-> ( j e. ( 0..^ N ) /\ ( j gcd N ) = y ) )
48	44, 47	bitr4di 198	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( ( j gcd N ) = y <-> j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
49	48	dcbid 838	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> (DECID ( j gcd N ) = y <-> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> (DECID ( j gcd N ) = y <-> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
51	43, 50	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
52	51	ralrimiva 2550	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
53		ssfidc 6928	. . . . 5 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N ) /\ A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } e. Fin )
54	31, 33, 52, 53	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } e. Fin )
55		oveq1 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( z gcd N ) = ( w gcd N ) )
56	55	eqeq1d 2186	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( ( z gcd N ) = y <-> ( w gcd N ) = y ) )
57	56	elrab 2893	. . . . . . . 8 |- ( w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } <-> ( w e. ( 0..^ N ) /\ ( w gcd N ) = y ) )
58	57	simprbi 275	. . . . . . 7 |- ( w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } -> ( w gcd N ) = y )
59	58	rgen 2530	. . . . . 6 |- A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y
60	59	rgenw 2532	. . . . 5 |- A. y e. { x e. NN | x || N } A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y
61		invdisj 3994	. . . . 5 |- ( A. y e. { x e. NN | x || N } A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y -> Disj y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
62	60, 61	mp1i 10	. . . 4 |- ( N e. NN -> Disj y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
63	27, 54, 62	hashiun 11470	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
64		fveq2 5511	. . . 4 |- ( d = ( N / y ) -> ( phi ` d ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
65		eqid 2177	. . . . 5 |- { x e. NN | x || N } = { x e. NN | x || N }
66		eqid 2177	. . . . 5 |- ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) )
67	65, 66	dvdsflip 11840	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
68		oveq2 5877	. . . . 5 |- ( z = y -> ( N / z ) = ( N / y ) )
69		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> y e. { x e. NN | x || N } )
70	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> N e. ZZ )
71	39	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> y e. NN )
72		znq 9613	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( N / y ) e. QQ )
73	70, 71, 72	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / y ) e. QQ )
74	66, 68, 69, 73	fvmptd3 5605	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` y ) = ( N / y ) )
75		elrabi 2890	. . . . . . 7 |- ( d e. { x e. NN | x || N } -> d e. NN )
76	75	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> d e. NN )
77	76	phicld 12201	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> ( phi ` d ) e. NN )
78	77	nncnd 8922	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> ( phi ` d ) e. CC )
79	64, 27, 67, 74, 78	fsumf1o 11382	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } ( phi ` ( N / y ) ) )
80	9, 63, 79	3eqtr4rd 2221	. 2 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
81		iunrab 3931	. . . . 5 |- U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y }
82		breq1 4003	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( z gcd N ) -> ( x || N <-> ( z gcd N ) || N ) )
83		elfzoelz 10133	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( 0..^ N ) -> z e. ZZ )
84	83	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> z e. ZZ )
85	11	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
86		nnne0 8936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
87	86	neneqd 2368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
88	87	intnand 931	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> -. ( z = 0 /\ N = 0 ) )
89	88	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> -. ( z = 0 /\ N = 0 ) )
90		gcdn0cl 11946	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( z = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( z gcd N ) e. NN )
91	84, 85, 89, 90	syl21anc 1237	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) e. NN )
92		gcddvds 11947	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( z gcd N ) || z /\ ( z gcd N ) || N ) )
93	84, 85, 92	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( z gcd N ) || z /\ ( z gcd N ) || N ) )
94	93	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) || N )
95	82, 91, 94	elrabd 2895	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) e. { x e. NN | x || N } )
96		clel5 2874	. . . . . . . 8 |- ( ( z gcd N ) e. { x e. NN | x || N } <-> E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
97	95, 96	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
98	97	ralrimiva 2550	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> A. z e. ( 0..^ N ) E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
99		rabid2 2653	. . . . . 6 |- ( ( 0..^ N ) = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y } <-> A. z e. ( 0..^ N ) E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
100	98, 99	sylibr 134	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y } )
101	81, 100	eqtr4id 2229	. . . 4 |- ( N e. NN -> U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } = ( 0..^ N ) )
102	101	fveq2d 5515	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = (♯ ` ( 0..^ N ) ) )
103		nnnn0 9172	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
104		hashfzo0 10787	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
105	103, 104	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
106	102, 105	eqtrd 2210	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = N )
107	80, 106	eqtrd 2210	1 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   C_ wss 3129   ifcif 3534   U_ciun 3884  Disj wdisj 3977   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Fincfn 6734   0cc0 7802   1c1 7803   / cdiv 8618   NNcn 8908   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   QQcq 9608   ...cfz 9995  ..^cfzo 10128  ♯chash 10739   sum_csu 11345   || cdvds 11778   gcd cgcd 11926   phicphi 12192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-phi 12194

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