Theorem phisum 12678

Description: The divisor sum identity of the totient function. Theorem 2.2 in [ApostolNT] p. 26. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phisum	|- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = N )

Distinct variable group:   x, N, d

Proof of Theorem phisum

Dummy variables z y w j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4062	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x || N <-> y || N ) )
2	1	elrab 2936	. . . . 5 |- ( y e. { x e. NN | x || N } <-> ( y e. NN /\ y || N ) )
3		hashgcdeq 12677	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ y e. NN ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) )
4	3	adantrr 479	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) )
5		iftrue 3584	. . . . . . 7 |- ( y || N -> if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
6	5	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> if ( y || N , ( phi ` ( N / y ) ) , 0 ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
7	4, 6	eqtrd 2240	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ y || N ) ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
8	2, 7	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
9	8	sumeq2dv 11794	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ y e. { x e. NN | x || N } (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } ( phi ` ( N / y ) ) )
10		dvdsfi 12676	. . . 4 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
11		0z 9418	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
12		nnz 9426	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
13		fzofig 10614	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
14	11, 12, 13	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. Fin )
15	14	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
16		ssrab2 3286	. . . . . 6 |- { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N )
17	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N ) )
18		elfzoelz 10304	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ZZ )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. ZZ )
20	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
21	19, 20	gcdcld 12404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 9528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. ZZ )
23		elrabi 2933	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. NN | x || N } -> y e. NN )
24	23	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> y e. NN )
25	24	nnzd 9529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> y e. ZZ )
26		zdceq 9483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( j gcd N ) e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> DECID ( j gcd N ) = y )
27	22, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID ( j gcd N ) = y )
28		oveq1 5974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = j -> ( z gcd N ) = ( j gcd N ) )
29	28	eqeq1d 2216	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = j -> ( ( z gcd N ) = y <-> ( j gcd N ) = y ) )
30	29	elrab 2936	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } <-> ( j e. ( 0..^ N ) /\ ( j gcd N ) = y ) )
31	30	baibr 922	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( ( j gcd N ) = y <-> j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
32	31	dcbid 840	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> (DECID ( j gcd N ) = y <-> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
33	32	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> (DECID ( j gcd N ) = y <-> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
34	27, 33	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
35	34	ralrimiva 2581	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
36		ssfidc 7060	. . . . 5 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } C_ ( 0..^ N ) /\ A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } e. Fin )
37	15, 17, 35, 36	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } e. Fin )
38		oveq1 5974	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( z gcd N ) = ( w gcd N ) )
39	38	eqeq1d 2216	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( ( z gcd N ) = y <-> ( w gcd N ) = y ) )
40	39	elrab 2936	. . . . . . . 8 |- ( w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } <-> ( w e. ( 0..^ N ) /\ ( w gcd N ) = y ) )
41	40	simprbi 275	. . . . . . 7 |- ( w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } -> ( w gcd N ) = y )
42	41	rgen 2561	. . . . . 6 |- A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y
43	42	rgenw 2563	. . . . 5 |- A. y e. { x e. NN | x || N } A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y
44		invdisj 4052	. . . . 5 |- ( A. y e. { x e. NN | x || N } A. w e. { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ( w gcd N ) = y -> Disj y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
45	43, 44	mp1i 10	. . . 4 |- ( N e. NN -> Disj y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } )
46	10, 37, 45	hashiun 11904	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } (♯ ` { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
47		fveq2 5599	. . . 4 |- ( d = ( N / y ) -> ( phi ` d ) = ( phi ` ( N / y ) ) )
48		eqid 2207	. . . . 5 |- { x e. NN | x || N } = { x e. NN | x || N }
49		eqid 2207	. . . . 5 |- ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) )
50	48, 49	dvdsflip 12277	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
51		oveq2 5975	. . . . 5 |- ( z = y -> ( N / z ) = ( N / y ) )
52		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> y e. { x e. NN | x || N } )
53	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> N e. ZZ )
54	23	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> y e. NN )
55		znq 9780	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( N / y ) e. QQ )
56	53, 54, 55	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / y ) e. QQ )
57	49, 51, 52, 56	fvmptd3 5696	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` y ) = ( N / y ) )
58		elrabi 2933	. . . . . . 7 |- ( d e. { x e. NN | x || N } -> d e. NN )
59	58	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> d e. NN )
60	59	phicld 12655	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> ( phi ` d ) e. NN )
61	60	nncnd 9085	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ d e. { x e. NN | x || N } ) -> ( phi ` d ) e. CC )
62	47, 10, 50, 57, 61	fsumf1o 11816	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = sum_ y e. { x e. NN | x || N } ( phi ` ( N / y ) ) )
63	9, 46, 62	3eqtr4rd 2251	. 2 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) )
64		iunrab 3989	. . . . 5 |- U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y }
65		breq1 4062	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( z gcd N ) -> ( x || N <-> ( z gcd N ) || N ) )
66		elfzoelz 10304	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( 0..^ N ) -> z e. ZZ )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> z e. ZZ )
68	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
69		nnne0 9099	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
70	69	neneqd 2399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
71	70	intnand 933	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> -. ( z = 0 /\ N = 0 ) )
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> -. ( z = 0 /\ N = 0 ) )
73		gcdn0cl 12398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( z = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( z gcd N ) e. NN )
74	67, 68, 72, 73	syl21anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) e. NN )
75		gcddvds 12399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( z gcd N ) || z /\ ( z gcd N ) || N ) )
76	67, 68, 75	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( z gcd N ) || z /\ ( z gcd N ) || N ) )
77	76	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) || N )
78	65, 74, 77	elrabd 2938	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> ( z gcd N ) e. { x e. NN | x || N } )
79		clel5 2917	. . . . . . . 8 |- ( ( z gcd N ) e. { x e. NN | x || N } <-> E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
80	78, 79	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ z e. ( 0..^ N ) ) -> E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
81	80	ralrimiva 2581	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> A. z e. ( 0..^ N ) E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
82		rabid2 2685	. . . . . 6 |- ( ( 0..^ N ) = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y } <-> A. z e. ( 0..^ N ) E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y )
83	81, 82	sylibr 134	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) = { z e. ( 0..^ N ) | E. y e. { x e. NN | x || N } ( z gcd N ) = y } )
84	64, 83	eqtr4id 2259	. . . 4 |- ( N e. NN -> U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } = ( 0..^ N ) )
85	84	fveq2d 5603	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = (♯ ` ( 0..^ N ) ) )
86		nnnn0 9337	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
87		hashfzo0 11005	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
88	86, 87	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 0..^ N ) ) = N )
89	85, 88	eqtrd 2240	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` U_ y e. { x e. NN | x || N } { z e. ( 0..^ N ) | ( z gcd N ) = y } ) = N )
90	63, 89	eqtrd 2240	1 |- ( N e. NN -> sum_ d e. { x e. NN | x || N } ( phi ` d ) = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   {crab 2490   C_ wss 3174   ifcif 3579   U_ciun 3941  Disj wdisj 4035   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Fincfn 6850   0cc0 7960   / cdiv 8780   NNcn 9071   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   QQcq 9775  ..^cfzo 10299  ♯chash 10957   sum_csu 11779   || cdvds 12213   gcd cgcd 12389   phicphi 12646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-disj 4036  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-sup 7112  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-fl 10450  df-mod 10505  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780  df-dvds 12214  df-gcd 12390  df-phi 12648

This theorem is referenced by: (None)