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Theorem iunab 3750
Description: The indexed union of a class abstraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
iunab  |-  U_ x  e.  A  { y  |  ph }  =  {
y  |  E. x  e.  A  ph }
Distinct variable groups:    y, A    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)

Proof of Theorem iunab
StepHypRef Expression
1 nfcv 2223 . . . 4  |-  F/_ y A
2 nfab1 2225 . . . 4  |-  F/_ y { y  |  ph }
31, 2nfiunxy 3730 . . 3  |-  F/_ y U_ x  e.  A  { y  |  ph }
4 nfab1 2225 . . 3  |-  F/_ y { y  |  E. x  e.  A  ph }
53, 4cleqf 2246 . 2  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  |  ph }  =  { y  |  E. x  e.  A  ph }  <->  A. y ( y  e. 
U_ x  e.  A  { y  |  ph } 
<->  y  e.  { y  |  E. x  e.  A  ph } ) )
6 abid 2071 . . . 4  |-  ( y  e.  { y  | 
ph }  <->  ph )
76rexbii 2379 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  { y  | 
ph }  <->  E. x  e.  A  ph )
8 eliun 3708 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  { y  | 
ph }  <->  E. x  e.  A  y  e.  { y  |  ph }
)
9 abid 2071 . . 3  |-  ( y  e.  { y  |  E. x  e.  A  ph }  <->  E. x  e.  A  ph )
107, 8, 93bitr4i 210 . 2  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  { y  | 
ph }  <->  y  e.  { y  |  E. x  e.  A  ph } )
115, 10mpgbir 1383 1  |-  U_ x  e.  A  { y  |  ph }  =  {
y  |  E. x  e.  A  ph }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2069   E.wrex 2354   U_ciun 3704
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-iun 3706
This theorem is referenced by:  iunrab  3751  iunid  3759  dfimafn2  5299
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