Theorem iunab 4012

Description: The indexed union of a class abstraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
iunab	|- U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem iunab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfab1 2374	. . . 4 |- F/_ y { y | ph }
3	1, 2	nfiunxy 3991	. . 3 |- F/_ y U_ x e. A { y | ph }
4		nfab1 2374	. . 3 |- F/_ y { y | E. x e. A ph }
5	3, 4	cleqf 2397	. 2 |- ( U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph } <-> A. y ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | E. x e. A ph } ) )
6		abid 2217	. . . 4 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
7	6	rexbii 2537	. . 3 |- ( E. x e. A y e. { y | ph } <-> E. x e. A ph )
8		eliun 3969	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> E. x e. A y e. { y | ph } )
9		abid 2217	. . 3 |- ( y e. { y | E. x e. A ph } <-> E. x e. A ph )
10	7, 8, 9	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | E. x e. A ph } )
11	5, 10	mpgbir 1499	1 |- U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph }

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   E.wrex 2509   U_ciun 3965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-iun 3967

This theorem is referenced by:  iunrab  4013  iunid  4021  dfimafn2  5683