Theorem iunab 3919

Description: The indexed union of a class abstraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
iunab	|- U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem iunab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2312	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfab1 2314	. . . 4 |- F/_ y { y | ph }
3	1, 2	nfiunxy 3899	. . 3 |- F/_ y U_ x e. A { y | ph }
4		nfab1 2314	. . 3 |- F/_ y { y | E. x e. A ph }
5	3, 4	cleqf 2337	. 2 |- ( U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph } <-> A. y ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | E. x e. A ph } ) )
6		abid 2158	. . . 4 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
7	6	rexbii 2477	. . 3 |- ( E. x e. A y e. { y | ph } <-> E. x e. A ph )
8		eliun 3877	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> E. x e. A y e. { y | ph } )
9		abid 2158	. . 3 |- ( y e. { y | E. x e. A ph } <-> E. x e. A ph )
10	7, 8, 9	3bitr4i 211	. 2 |- ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | E. x e. A ph } )
11	5, 10	mpgbir 1446	1 |- U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph }

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   E.wrex 2449   U_ciun 3873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-iun 3875

This theorem is referenced by:  iunrab  3920  iunid  3928  dfimafn2  5546