Theorem iunab 3854

Description: The indexed union of a class abstraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
iunab	|- U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem iunab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2279	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfab1 2281	. . . 4 |- F/_ y { y | ph }
3	1, 2	nfiunxy 3834	. . 3 |- F/_ y U_ x e. A { y | ph }
4		nfab1 2281	. . 3 |- F/_ y { y | E. x e. A ph }
5	3, 4	cleqf 2303	. 2 |- ( U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph } <-> A. y ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | E. x e. A ph } ) )
6		abid 2125	. . . 4 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
7	6	rexbii 2440	. . 3 |- ( E. x e. A y e. { y | ph } <-> E. x e. A ph )
8		eliun 3812	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> E. x e. A y e. { y | ph } )
9		abid 2125	. . 3 |- ( y e. { y | E. x e. A ph } <-> E. x e. A ph )
10	7, 8, 9	3bitr4i 211	. 2 |- ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | E. x e. A ph } )
11	5, 10	mpgbir 1429	1 |- U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph }

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2123   E.wrex 2415   U_ciun 3808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-iun 3810

This theorem is referenced by:  iunrab  3855  iunid  3863  dfimafn2  5464