Theorem iunab 3798

Description: The indexed union of a class abstraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
iunab	|- U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem iunab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2235	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfab1 2237	. . . 4 |- F/_ y { y | ph }
3	1, 2	nfiunxy 3778	. . 3 |- F/_ y U_ x e. A { y | ph }
4		nfab1 2237	. . 3 |- F/_ y { y | E. x e. A ph }
5	3, 4	cleqf 2259	. 2 |- ( U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph } <-> A. y ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | E. x e. A ph } ) )
6		abid 2083	. . . 4 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
7	6	rexbii 2396	. . 3 |- ( E. x e. A y e. { y | ph } <-> E. x e. A ph )
8		eliun 3756	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> E. x e. A y e. { y | ph } )
9		abid 2083	. . 3 |- ( y e. { y | E. x e. A ph } <-> E. x e. A ph )
10	7, 8, 9	3bitr4i 211	. 2 |- ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | E. x e. A ph } )
11	5, 10	mpgbir 1394	1 |- U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph }

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1296   e. wcel 1445   {cab 2081   E.wrex 2371   U_ciun 3752

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-iun 3754

This theorem is referenced by:  iunrab  3799  iunid  3807  dfimafn2  5389