Theorem iunab 3945

Description: The indexed union of a class abstraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
iunab	|- U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem iunab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2329	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfab1 2331	. . . 4 |- F/_ y { y | ph }
3	1, 2	nfiunxy 3924	. . 3 |- F/_ y U_ x e. A { y | ph }
4		nfab1 2331	. . 3 |- F/_ y { y | E. x e. A ph }
5	3, 4	cleqf 2354	. 2 |- ( U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph } <-> A. y ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | E. x e. A ph } ) )
6		abid 2175	. . . 4 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
7	6	rexbii 2494	. . 3 |- ( E. x e. A y e. { y | ph } <-> E. x e. A ph )
8		eliun 3902	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> E. x e. A y e. { y | ph } )
9		abid 2175	. . 3 |- ( y e. { y | E. x e. A ph } <-> E. x e. A ph )
10	7, 8, 9	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | E. x e. A ph } )
11	5, 10	mpgbir 1463	1 |- U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph }

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   {cab 2173   E.wrex 2466   U_ciun 3898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-iun 3900

This theorem is referenced by:  iunrab  3946  iunid  3954  dfimafn2  5578