Theorem ovprc 5814

Description: The value of an operation when the one of the arguments is a proper class. Note: this theorem is dependent on our particular definitions of operation value, function value, and ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	|- Rel dom F

Assertion

Ref	Expression
ovprc	|- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A F B ) = (/) )

Proof of Theorem ovprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5785	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		opprc 3734	. . . 4 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = (/) )
3		0ex 4063	. . . 4 |- (/) e. _V
4	2, 3	eqeltrdi 2231	. . 3 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
5		df-br 3938	. . . . 5 |- ( A dom F B <-> <. A , B >. e. dom F )
6		ovprc1.1	. . . . . 6 |- Rel dom F
7		brrelex12 4585	. . . . . 6 |- ( ( Rel dom F /\ A dom F B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
8	6, 7	mpan 421	. . . . 5 |- ( A dom F B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
9	5, 8	sylbir 134	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. dom F -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
10	9	con3i 622	. . 3 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> -. <. A , B >. e. dom F )
11		ndmfvg 5460	. . 3 |- ( ( <. A , B >. e. _V /\ -. <. A , B >. e. dom F ) -> ( F ` <. A , B >. ) = (/) )
12	4, 10, 11	syl2anc 409	. 2 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F ` <. A , B >. ) = (/) )
13	1, 12	syl5eq 2185	1 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A F B ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   (/)c0 3368   <.cop 3535   class class class wbr 3937   dom cdm 4547   Rel wrel 4552   ` cfv 5131  (class class class)co 5782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785

This theorem is referenced by:  ovprc1  5815  ovprc2  5816