Theorem ovprc 5877

Description: The value of an operation when the one of the arguments is a proper class. Note: this theorem is dependent on our particular definitions of operation value, function value, and ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	|- Rel dom F

Assertion

Ref	Expression
ovprc	|- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A F B ) = (/) )

Proof of Theorem ovprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5845	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		opprc 3779	. . . 4 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = (/) )
3		0ex 4109	. . . 4 |- (/) e. _V
4	2, 3	eqeltrdi 2257	. . 3 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
5		df-br 3983	. . . . 5 |- ( A dom F B <-> <. A , B >. e. dom F )
6		ovprc1.1	. . . . . 6 |- Rel dom F
7		brrelex12 4642	. . . . . 6 |- ( ( Rel dom F /\ A dom F B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
8	6, 7	mpan 421	. . . . 5 |- ( A dom F B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
9	5, 8	sylbir 134	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. dom F -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
10	9	con3i 622	. . 3 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> -. <. A , B >. e. dom F )
11		ndmfvg 5517	. . 3 |- ( ( <. A , B >. e. _V /\ -. <. A , B >. e. dom F ) -> ( F ` <. A , B >. ) = (/) )
12	4, 10, 11	syl2anc 409	. 2 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F ` <. A , B >. ) = (/) )
13	1, 12	syl5eq 2211	1 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A F B ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   (/)c0 3409   <.cop 3579   class class class wbr 3982   dom cdm 4604   Rel wrel 4609   ` cfv 5188  (class class class)co 5842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845

This theorem is referenced by:  ovprc1  5878  ovprc2  5879