ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prprc1 Unicode version

Theorem prprc1 3545
Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
prprc1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { A ,  B }  =  { B } )

Proof of Theorem prprc1
StepHypRef Expression
1 snprc 3502 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
2 uneq1 3145 . . 3  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( { A }  u.  { B } )  =  ( (/)  u.  { B } ) )
3 df-pr 3448 . . 3  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
4 uncom 3142 . . . 4  |-  ( (/)  u. 
{ B } )  =  ( { B }  u.  (/) )
5 un0 3314 . . . 4  |-  ( { B }  u.  (/) )  =  { B }
64, 5eqtr2i 2109 . . 3  |-  { B }  =  ( (/)  u.  { B } )
72, 3, 63eqtr4g 2145 . 2  |-  ( { A }  =  (/)  ->  { A ,  B }  =  { B } )
81, 7sylbi 119 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { A ,  B }  =  { B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619    u. cun 2995   (/)c0 3284   {csn 3441   {cpr 3442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-nul 3285  df-sn 3447  df-pr 3448
This theorem is referenced by:  prprc2  3546  prprc  3547
  Copyright terms: Public domain W3C validator