Theorem prprc1 3731

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	|- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3688	. 2 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
2		uneq1 3311	. . 3 |- ( { A } = (/) -> ( { A } u. { B } ) = ( (/) u. { B } ) )
3		df-pr 3630	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
4		uncom 3308	. . . 4 |- ( (/) u. { B } ) = ( { B } u. (/) )
5		un0 3485	. . . 4 |- ( { B } u. (/) ) = { B }
6	4, 5	eqtr2i 2218	. . 3 |- { B } = ( (/) u. { B } )
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2254	. 2 |- ( { A } = (/) -> { A , B } = { B } )
8	1, 7	sylbi 121	1 |- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   u. cun 3155   (/)c0 3451   {csn 3623   {cpr 3624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-nul 3452  df-sn 3629  df-pr 3630

This theorem is referenced by:  prprc2  3732  prprc  3733