Theorem prprc1 3726

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	|- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3683	. 2 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
2		uneq1 3306	. . 3 |- ( { A } = (/) -> ( { A } u. { B } ) = ( (/) u. { B } ) )
3		df-pr 3625	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
4		uncom 3303	. . . 4 |- ( (/) u. { B } ) = ( { B } u. (/) )
5		un0 3480	. . . 4 |- ( { B } u. (/) ) = { B }
6	4, 5	eqtr2i 2215	. . 3 |- { B } = ( (/) u. { B } )
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2251	. 2 |- ( { A } = (/) -> { A , B } = { B } )
8	1, 7	sylbi 121	1 |- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3151   (/)c0 3446   {csn 3618   {cpr 3619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-nul 3447  df-sn 3624  df-pr 3625

This theorem is referenced by:  prprc2  3727  prprc  3728