Theorem prprc1 3775

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	|- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3731	. 2 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
2		uneq1 3351	. . 3 |- ( { A } = (/) -> ( { A } u. { B } ) = ( (/) u. { B } ) )
3		df-pr 3673	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
4		uncom 3348	. . . 4 |- ( (/) u. { B } ) = ( { B } u. (/) )
5		un0 3525	. . . 4 |- ( { B } u. (/) ) = { B }
6	4, 5	eqtr2i 2251	. . 3 |- { B } = ( (/) u. { B } )
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2287	. 2 |- ( { A } = (/) -> { A , B } = { B } )
8	1, 7	sylbi 121	1 |- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   u. cun 3195   (/)c0 3491   {csn 3666   {cpr 3667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-nul 3492  df-sn 3672  df-pr 3673

This theorem is referenced by:  prprc2  3776  prprc  3777