Theorem prprc1 3691

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	|- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3648	. 2 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
2		uneq1 3274	. . 3 |- ( { A } = (/) -> ( { A } u. { B } ) = ( (/) u. { B } ) )
3		df-pr 3590	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
4		uncom 3271	. . . 4 |- ( (/) u. { B } ) = ( { B } u. (/) )
5		un0 3448	. . . 4 |- ( { B } u. (/) ) = { B }
6	4, 5	eqtr2i 2192	. . 3 |- { B } = ( (/) u. { B } )
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2228	. 2 |- ( { A } = (/) -> { A , B } = { B } )
8	1, 7	sylbi 120	1 |- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   u. cun 3119   (/)c0 3414   {csn 3583   {cpr 3584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-nul 3415  df-sn 3589  df-pr 3590

This theorem is referenced by:  prprc2  3692  prprc  3693