Theorem prprc1 3819

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	|- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3773	. 2 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
2		uneq1 3376	. . 3 |- ( { A } = (/) -> ( { A } u. { B } ) = ( (/) u. { B } ) )
3		df-pr 3715	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
4		uncom 3373	. . . 4 |- ( (/) u. { B } ) = ( { B } u. (/) )
5		un0 3556	. . . 4 |- ( { B } u. (/) ) = { B }
6	4, 5	eqtr2i 2260	. . 3 |- { B } = ( (/) u. { B } )
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2296	. 2 |- ( { A } = (/) -> { A , B } = { B } )
8	1, 7	sylbi 121	1 |- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   (/)c0 3520   {csn 3708   {cpr 3709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-nul 3521  df-sn 3714  df-pr 3715

This theorem is referenced by:  prprc2  3820  prprc  3821