ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prprc1 Unicode version

Theorem prprc1 3599
Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
prprc1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { A ,  B }  =  { B } )

Proof of Theorem prprc1
StepHypRef Expression
1 snprc 3556 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
2 uneq1 3191 . . 3  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( { A }  u.  { B } )  =  ( (/)  u.  { B } ) )
3 df-pr 3502 . . 3  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
4 uncom 3188 . . . 4  |-  ( (/)  u. 
{ B } )  =  ( { B }  u.  (/) )
5 un0 3364 . . . 4  |-  ( { B }  u.  (/) )  =  { B }
64, 5eqtr2i 2137 . . 3  |-  { B }  =  ( (/)  u.  { B } )
72, 3, 63eqtr4g 2173 . 2  |-  ( { A }  =  (/)  ->  { A ,  B }  =  { B } )
81, 7sylbi 120 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { A ,  B }  =  { B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1314    e. wcel 1463   _Vcvv 2658    u. cun 3037   (/)c0 3331   {csn 3495   {cpr 3496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-nul 3332  df-sn 3501  df-pr 3502
This theorem is referenced by:  prprc2  3600  prprc  3601
  Copyright terms: Public domain W3C validator