Theorem prprc1 3639

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	|- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3596	. 2 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
2		uneq1 3228	. . 3 |- ( { A } = (/) -> ( { A } u. { B } ) = ( (/) u. { B } ) )
3		df-pr 3539	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
4		uncom 3225	. . . 4 |- ( (/) u. { B } ) = ( { B } u. (/) )
5		un0 3401	. . . 4 |- ( { B } u. (/) ) = { B }
6	4, 5	eqtr2i 2162	. . 3 |- { B } = ( (/) u. { B } )
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2198	. 2 |- ( { A } = (/) -> { A , B } = { B } )
8	1, 7	sylbi 120	1 |- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   u. cun 3074   (/)c0 3368   {csn 3532   {cpr 3533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-nul 3369  df-sn 3538  df-pr 3539

This theorem is referenced by:  prprc2  3640  prprc  3641