Theorem prprc1 3741

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	|- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3698	. 2 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
2		uneq1 3320	. . 3 |- ( { A } = (/) -> ( { A } u. { B } ) = ( (/) u. { B } ) )
3		df-pr 3640	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
4		uncom 3317	. . . 4 |- ( (/) u. { B } ) = ( { B } u. (/) )
5		un0 3494	. . . 4 |- ( { B } u. (/) ) = { B }
6	4, 5	eqtr2i 2227	. . 3 |- { B } = ( (/) u. { B } )
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2263	. 2 |- ( { A } = (/) -> { A , B } = { B } )
8	1, 7	sylbi 121	1 |- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   (/)c0 3460   {csn 3633   {cpr 3634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-nul 3461  df-sn 3639  df-pr 3640

This theorem is referenced by:  prprc2  3742  prprc  3743