Theorem prprc1 3684

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	|- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3641	. 2 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
2		uneq1 3269	. . 3 |- ( { A } = (/) -> ( { A } u. { B } ) = ( (/) u. { B } ) )
3		df-pr 3583	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
4		uncom 3266	. . . 4 |- ( (/) u. { B } ) = ( { B } u. (/) )
5		un0 3442	. . . 4 |- ( { B } u. (/) ) = { B }
6	4, 5	eqtr2i 2187	. . 3 |- { B } = ( (/) u. { B } )
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2224	. 2 |- ( { A } = (/) -> { A , B } = { B } )
8	1, 7	sylbi 120	1 |- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   u. cun 3114   (/)c0 3409   {csn 3576   {cpr 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-nul 3410  df-sn 3582  df-pr 3583

This theorem is referenced by:  prprc2  3685  prprc  3686