Theorem prprc1 3793

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	|- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3747	. 2 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
2		uneq1 3365	. . 3 |- ( { A } = (/) -> ( { A } u. { B } ) = ( (/) u. { B } ) )
3		df-pr 3689	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
4		uncom 3362	. . . 4 |- ( (/) u. { B } ) = ( { B } u. (/) )
5		un0 3539	. . . 4 |- ( { B } u. (/) ) = { B }
6	4, 5	eqtr2i 2254	. . 3 |- { B } = ( (/) u. { B } )
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2290	. 2 |- ( { A } = (/) -> { A , B } = { B } )
8	1, 7	sylbi 121	1 |- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   u. cun 3208   (/)c0 3505   {csn 3682   {cpr 3683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-nul 3506  df-sn 3688  df-pr 3689

This theorem is referenced by:  prprc2  3794  prprc  3795