Theorem prssg 3872

Description: A pair of elements of a class is a subset of the class. Theorem 7.5 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prssg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( A e. C /\ B e. C ) <-> { A , B } C_ C ) )

Proof of Theorem prssg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssg 3849	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. C <-> { A } C_ C ) )
2		snssg 3849	. . 3 |- ( B e. W -> ( B e. C <-> { B } C_ C ) )
3	1, 2	bi2anan9 614	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( A e. C /\ B e. C ) <-> ( { A } C_ C /\ { B } C_ C ) ) )
4		unss 3403	. . 3 |- ( ( { A } C_ C /\ { B } C_ C ) <-> ( { A } u. { B } ) C_ C )
5		df-pr 3716	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
6	5	sseq1i 3274	. . 3 |- ( { A , B } C_ C <-> ( { A } u. { B } ) C_ C )
7	4, 6	bitr4i 187	. 2 |- ( ( { A } C_ C /\ { B } C_ C ) <-> { A , B } C_ C )
8	3, 7	bitrdi 196	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( A e. C /\ B e. C ) <-> { A , B } C_ C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3709   {cpr 3710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716

This theorem is used by:  prssi  3873  prsspwg  3875  ssprss  3876  prelpw  4353  hashdmprop2dom  11296  topgele  15130  structgrssvtx  16283  structgrssiedg  16284  umgredgprv  16356  wlk1walkdom  16600