Theorem unss 3311

Description: The union of two subclasses is a subclass. Theorem 27 of [Suppes] p. 27 and its converse. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unss	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )

Proof of Theorem unss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3146	. 2 |- ( ( A u. B ) C_ C <-> A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) )
2		19.26 1481	. . 3 |- ( A. x ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. C ) /\ A. x ( x e. B -> x e. C ) ) )
3		elun 3278	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
4	3	imbi1i 238	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> x e. C ) )
5		jaob 710	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
7	6	albii 1470	. . 3 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> A. x ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
8		dfss2 3146	. . . 4 |- ( A C_ C <-> A. x ( x e. A -> x e. C ) )
9		dfss2 3146	. . . 4 |- ( B C_ C <-> A. x ( x e. B -> x e. C ) )
10	8, 9	anbi12i 460	. . 3 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. C ) /\ A. x ( x e. B -> x e. C ) ) )
11	2, 7, 10	3bitr4i 212	. 2 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( A C_ C /\ B C_ C ) )
12	1, 11	bitr2i 185	1 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   A.wal 1351   e. wcel 2148   u. cun 3129   C_ wss 3131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144

This theorem is referenced by:  unssi  3312  unssd  3313  unssad  3314  unssbd  3315  uneqin  3388  undifss  3505  prss  3750  prssg  3751  tpss  3760  exmid1stab  4210  pwundifss  4287  ordsucss  4505  elomssom  4606  eqrelrel  4729  xpsspw  4740  relun  4745  relcoi2  5161  dfer2  6538  fimaxre2  11237  uncld  13698  bdeqsuc  14718