Theorem unss 3347

Description: The union of two subclasses is a subclass. Theorem 27 of [Suppes] p. 27 and its converse. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unss	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )

Proof of Theorem unss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3181	. 2 |- ( ( A u. B ) C_ C <-> A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) )
2		19.26 1504	. . 3 |- ( A. x ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. C ) /\ A. x ( x e. B -> x e. C ) ) )
3		elun 3314	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
4	3	imbi1i 238	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> x e. C ) )
5		jaob 712	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
7	6	albii 1493	. . 3 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> A. x ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
8		ssalel 3181	. . . 4 |- ( A C_ C <-> A. x ( x e. A -> x e. C ) )
9		ssalel 3181	. . . 4 |- ( B C_ C <-> A. x ( x e. B -> x e. C ) )
10	8, 9	anbi12i 460	. . 3 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. C ) /\ A. x ( x e. B -> x e. C ) ) )
11	2, 7, 10	3bitr4i 212	. 2 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( A C_ C /\ B C_ C ) )
12	1, 11	bitr2i 185	1 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   A.wal 1371   e. wcel 2176   u. cun 3164   C_ wss 3166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179

This theorem is referenced by:  unssi  3348  unssd  3349  unssad  3350  unssbd  3351  uneqin  3424  undifss  3541  prss  3789  prssg  3790  tpss  3799  exmid1stab  4252  pwundifss  4332  ordsucss  4552  elomssom  4653  eqrelrel  4776  xpsspw  4787  relun  4792  relcoi2  5213  dfer2  6621  fimaxre2  11538  uncld  14585  plyun0  15208  bdeqsuc  15817