Theorem unss 3403

Description: The union of two subclasses is a subclass. Theorem 27 of [Suppes] p. 27 and its converse. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unss	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )

Proof of Theorem unss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3235	. 2 |- ( ( A u. B ) C_ C <-> A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) )
2		19.26 1534	. . 3 |- ( A. x ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. C ) /\ A. x ( x e. B -> x e. C ) ) )
3		elun 3370	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
4	3	imbi1i 238	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> x e. C ) )
5		jaob 722	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
7	6	albii 1523	. . 3 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> A. x ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
8		ssalel 3235	. . . 4 |- ( A C_ C <-> A. x ( x e. A -> x e. C ) )
9		ssalel 3235	. . . 4 |- ( B C_ C <-> A. x ( x e. B -> x e. C ) )
10	8, 9	anbi12i 464	. . 3 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. C ) /\ A. x ( x e. B -> x e. C ) ) )
11	2, 7, 10	3bitr4i 212	. 2 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( A C_ C /\ B C_ C ) )
12	1, 11	bitr2i 185	1 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   A.wal 1400   e. wcel 2209   u. cun 3218   C_ wss 3220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is referenced by:  unssi  3404  unssd  3405  unssad  3406  unssbd  3407  uneqin  3482  undifss  3605  prss  3866  prssg  3867  tpss  3878  exmid1stab  4340  pwundifss  4425  ordsucss  4646  elomssom  4747  eqrelrel  4871  xpsspw  4882  relun  4889  relcoi2  5313  dfer2  6798  fimaxre2  11971  uncld  15137  plyun0  15760  bdeqsuc  16821