Theorem unss 3379

Description: The union of two subclasses is a subclass. Theorem 27 of [Suppes] p. 27 and its converse. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unss	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )

Proof of Theorem unss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3213	. 2 |- ( ( A u. B ) C_ C <-> A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) )
2		19.26 1527	. . 3 |- ( A. x ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. C ) /\ A. x ( x e. B -> x e. C ) ) )
3		elun 3346	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
4	3	imbi1i 238	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> x e. C ) )
5		jaob 715	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
7	6	albii 1516	. . 3 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> A. x ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
8		ssalel 3213	. . . 4 |- ( A C_ C <-> A. x ( x e. A -> x e. C ) )
9		ssalel 3213	. . . 4 |- ( B C_ C <-> A. x ( x e. B -> x e. C ) )
10	8, 9	anbi12i 460	. . 3 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. C ) /\ A. x ( x e. B -> x e. C ) ) )
11	2, 7, 10	3bitr4i 212	. 2 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( A C_ C /\ B C_ C ) )
12	1, 11	bitr2i 185	1 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   A.wal 1393   e. wcel 2200   u. cun 3196   C_ wss 3198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211

This theorem is referenced by:  unssi  3380  unssd  3381  unssad  3382  unssbd  3383  uneqin  3456  undifss  3573  prss  3827  prssg  3828  tpss  3839  exmid1stab  4296  pwundifss  4380  ordsucss  4600  elomssom  4701  eqrelrel  4825  xpsspw  4836  relun  4842  relcoi2  5265  dfer2  6698  fimaxre2  11778  uncld  14827  plyun0  15450  bdeqsuc  16412