Theorem unss 3301

Description: The union of two subclasses is a subclass. Theorem 27 of [Suppes] p. 27 and its converse. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unss	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )

Proof of Theorem unss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3136	. 2 |- ( ( A u. B ) C_ C <-> A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) )
2		19.26 1474	. . 3 |- ( A. x ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. C ) /\ A. x ( x e. B -> x e. C ) ) )
3		elun 3268	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
4	3	imbi1i 237	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> x e. C ) )
5		jaob 705	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
6	4, 5	bitri 183	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
7	6	albii 1463	. . 3 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> A. x ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) )
8		dfss2 3136	. . . 4 |- ( A C_ C <-> A. x ( x e. A -> x e. C ) )
9		dfss2 3136	. . . 4 |- ( B C_ C <-> A. x ( x e. B -> x e. C ) )
10	8, 9	anbi12i 457	. . 3 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. C ) /\ A. x ( x e. B -> x e. C ) ) )
11	2, 7, 10	3bitr4i 211	. 2 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> x e. C ) <-> ( A C_ C /\ B C_ C ) )
12	1, 11	bitr2i 184	1 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   A.wal 1346   e. wcel 2141   u. cun 3119   C_ wss 3121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134

This theorem is referenced by:  unssi  3302  unssd  3303  unssad  3304  unssbd  3305  uneqin  3378  undifss  3494  prss  3734  prssg  3735  tpss  3743  pwundifss  4268  ordsucss  4486  elomssom  4587  eqrelrel  4710  xpsspw  4721  relun  4726  relcoi2  5139  dfer2  6512  fimaxre2  11183  uncld  12872  bdeqsuc  13881  exmid1stab  13998