Theorem topgele 14265

Description: The topologies over the same set have the greatest element (the discrete topology) and the least element (the indiscrete topology). (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topgele	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( { (/) , X } C_ J /\ J C_ ~P X ) )

Proof of Theorem topgele

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 14250	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2		0opn 14242	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (/) e. J )
4		toponmax 14261	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
5		0ex 4160	. . . 4 |- (/) e. _V
6		prssg 3779	. . . 4 |- ( ( (/) e. _V /\ X e. J ) -> ( ( (/) e. J /\ X e. J ) <-> { (/) , X } C_ J ) )
7	5, 4, 6	sylancr 414	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( (/) e. J /\ X e. J ) <-> { (/) , X } C_ J ) )
8	3, 4, 7	mpbi2and 945	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> { (/) , X } C_ J )
9		toponuni 14251	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
10		eqimss2 3238	. . . 4 |- ( X = U. J -> U. J C_ X )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> U. J C_ X )
12		sspwuni 4001	. . 3 |- ( J C_ ~P X <-> U. J C_ X )
13	11, 12	sylibr 134	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J C_ ~P X )
14	8, 13	jca 306	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( { (/) , X } C_ J /\ J C_ ~P X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   (/)c0 3450   ~Pcpw 3605   {cpr 3623   U.cuni 3839   ` cfv 5258   Topctop 14233  TopOnctopon 14246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-top 14234  df-topon 14247

This theorem is referenced by: (None)