Theorem topgele 14197

Description: The topologies over the same set have the greatest element (the discrete topology) and the least element (the indiscrete topology). (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topgele	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( { (/) , X } C_ J /\ J C_ ~P X ) )

Proof of Theorem topgele

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 14182	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2		0opn 14174	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (/) e. J )
4		toponmax 14193	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
5		0ex 4156	. . . 4 |- (/) e. _V
6		prssg 3775	. . . 4 |- ( ( (/) e. _V /\ X e. J ) -> ( ( (/) e. J /\ X e. J ) <-> { (/) , X } C_ J ) )
7	5, 4, 6	sylancr 414	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( (/) e. J /\ X e. J ) <-> { (/) , X } C_ J ) )
8	3, 4, 7	mpbi2and 945	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> { (/) , X } C_ J )
9		toponuni 14183	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
10		eqimss2 3234	. . . 4 |- ( X = U. J -> U. J C_ X )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> U. J C_ X )
12		sspwuni 3997	. . 3 |- ( J C_ ~P X <-> U. J C_ X )
13	11, 12	sylibr 134	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J C_ ~P X )
14	8, 13	jca 306	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( { (/) , X } C_ J /\ J C_ ~P X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   (/)c0 3446   ~Pcpw 3601   {cpr 3619   U.cuni 3835   ` cfv 5254   Topctop 14165  TopOnctopon 14178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-top 14166  df-topon 14179

This theorem is referenced by: (None)