Theorem snelpwi 4211

Description: A singleton of a set belongs to the power class of a class containing the set. (Contributed by Alan Sare, 25-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
snelpwi	|- ( A e. B -> { A } e. ~P B )

Proof of Theorem snelpwi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3736	. 2 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
2		elex 2748	. . 3 |- ( A e. B -> A e. _V )
3		snexg 4183	. . 3 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
4		elpwg 3583	. . 3 |- ( { A } e. _V -> ( { A } e. ~P B <-> { A } C_ B ) )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( A e. B -> ( { A } e. ~P B <-> { A } C_ B ) )
6	1, 5	mpbird 167	1 |- ( A e. B -> { A } e. ~P B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   ~Pcpw 3575   {csn 3592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598

This theorem is referenced by:  unipw  4216  infpwfidom  7193  txdis  13639  txdis1cn  13640