Theorem snelpwi 4273

Description: A singleton of a set belongs to the power class of a class containing the set. (Contributed by Alan Sare, 25-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
snelpwi	|- ( A e. B -> { A } e. ~P B )

Proof of Theorem snelpwi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3788	. 2 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
2		elex 2788	. . 3 |- ( A e. B -> A e. _V )
3		snexg 4244	. . 3 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
4		elpwg 3634	. . 3 |- ( { A } e. _V -> ( { A } e. ~P B <-> { A } C_ B ) )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( A e. B -> ( { A } e. ~P B <-> { A } C_ B ) )
6	1, 5	mpbird 167	1 |- ( A e. B -> { A } e. ~P B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   ~Pcpw 3626   {csn 3643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649

This theorem is referenced by:  unipw  4279  infpwfidom  7337  txdis  14864  txdis1cn  14865