Theorem snelpwi 4195

Description: A singleton of a set belongs to the power class of a class containing the set. (Contributed by Alan Sare, 25-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
snelpwi	|- ( A e. B -> { A } e. ~P B )

Proof of Theorem snelpwi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3722	. 2 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
2		elex 2741	. . 3 |- ( A e. B -> A e. _V )
3		snexg 4168	. . 3 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
4		elpwg 3572	. . 3 |- ( { A } e. _V -> ( { A } e. ~P B <-> { A } C_ B ) )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( A e. B -> ( { A } e. ~P B <-> { A } C_ B ) )
6	1, 5	mpbird 166	1 |- ( A e. B -> { A } e. ~P B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   ~Pcpw 3564   {csn 3581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587

This theorem is referenced by:  unipw  4200  infpwfidom  7162  txdis  12992  txdis1cn  12993