Theorem snelpwi 4142

Description: A singleton of a set belongs to the power class of a class containing the set. (Contributed by Alan Sare, 25-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
snelpwi	|- ( A e. B -> { A } e. ~P B )

Proof of Theorem snelpwi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3672	. 2 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
2		elex 2700	. . 3 |- ( A e. B -> A e. _V )
3		snexg 4116	. . 3 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
4		elpwg 3523	. . 3 |- ( { A } e. _V -> ( { A } e. ~P B <-> { A } C_ B ) )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( A e. B -> ( { A } e. ~P B <-> { A } C_ B ) )
6	1, 5	mpbird 166	1 |- ( A e. B -> { A } e. ~P B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515   {csn 3532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538

This theorem is referenced by:  unipw  4147  infpwfidom  7071  txdis  12485  txdis1cn  12486