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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > txdis | Unicode version |
Description: The topological product of discrete spaces is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
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txdis |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | distop 13252 |
. . . . 5
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2 | distop 13252 |
. . . . 5
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3 | unipw 4214 |
. . . . . . 7
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4 | 3 | eqcomi 2181 |
. . . . . 6
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5 | unipw 4214 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | eqcomi 2181 |
. . . . . 6
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7 | 4, 6 | txuni 13430 |
. . . . 5
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8 | 1, 2, 7 | syl2an 289 |
. . . 4
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9 | eqimss2 3210 |
. . . 4
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10 | 8, 9 | syl 14 |
. . 3
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11 | sspwuni 3968 |
. . 3
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12 | 10, 11 | sylibr 134 |
. 2
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13 | elelpwi 3586 |
. . . . . . . . 9
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14 | 13 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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15 | xp1st 6160 |
. . . . . . . 8
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16 | snelpwi 4209 |
. . . . . . . 8
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17 | 14, 15, 16 | 3syl 17 |
. . . . . . 7
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18 | xp2nd 6161 |
. . . . . . . 8
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19 | snelpwi 4209 |
. . . . . . . 8
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20 | 14, 18, 19 | 3syl 17 |
. . . . . . 7
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21 | vsnid 3623 |
. . . . . . . 8
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22 | 1st2nd2 6170 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 14, 22 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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24 | 23 | sneqd 3604 |
. . . . . . . 8
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25 | 21, 24 | eleqtrid 2266 |
. . . . . . 7
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26 | simprl 529 |
. . . . . . . . 9
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27 | 23, 26 | eqeltrrd 2255 |
. . . . . . . 8
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28 | 27 | snssd 3736 |
. . . . . . 7
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29 | xpeq1 4637 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 29 | eleq2d 2247 |
. . . . . . . . 9
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31 | 29 | sseq1d 3184 |
. . . . . . . . 9
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32 | 30, 31 | anbi12d 473 |
. . . . . . . 8
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33 | xpeq2 4638 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 1stexg 6162 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | 34 | elv 2741 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 2ndexg 6163 |
. . . . . . . . . . . . 13
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37 | 36 | elv 2741 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 35, 37 | xpsn 5688 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 33, 38 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 39 | eleq2d 2247 |
. . . . . . . . 9
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41 | 39 | sseq1d 3184 |
. . . . . . . . 9
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42 | 40, 41 | anbi12d 473 |
. . . . . . . 8
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43 | 32, 42 | rspc2ev 2856 |
. . . . . . 7
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44 | 17, 20, 25, 28, 43 | syl112anc 1242 |
. . . . . 6
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45 | 44 | expr 375 |
. . . . 5
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46 | 45 | ralrimdva 2557 |
. . . 4
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47 | eltx 13426 |
. . . . 5
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48 | 1, 2, 47 | syl2an 289 |
. . . 4
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49 | 46, 48 | sylibrd 169 |
. . 3
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50 | 49 | ssrdv 3161 |
. 2
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51 | 12, 50 | eqssd 3172 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-id 4290 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-topgen 12657 df-top 13163 df-topon 13176 df-bases 13208 df-tx 13420 |
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