Theorem txdis1cn 13072

Description: A function is jointly continuous on a discrete left topology iff it is continuous as a function of its right argument, for each fixed left value. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txdis1cn.x	|- ( ph -> X e. V )
txdis1cn.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` Y ) )
txdis1cn.k	|- ( ph -> K e. Top )
txdis1cn.f	|- ( ph -> F Fn ( X X. Y ) )
txdis1cn.1	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> ( x F y ) ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
txdis1cn	|- ( ph -> F e. ( ( ~P X tX J ) Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J   x, X, y   x, K, y   ph, x   x, Y, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   J( y)   V( x, y)

Proof of Theorem txdis1cn

Dummy variables a b m n u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txdis1cn.f	. . 3 |- ( ph -> F Fn ( X X. Y ) )
2		txdis1cn.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` Y ) )
3	2	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> J e. (TopOn ` Y ) )
4		txdis1cn.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. Top )
5		toptopon2 12811	. . . . . . . 8 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
6	4, 5	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
7	6	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
8		txdis1cn.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> ( x F y ) ) e. ( J Cn K ) )
9		cnf2 12999	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` Y ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( y e. Y |-> ( x F y ) ) e. ( J Cn K ) ) -> ( y e. Y |-> ( x F y ) ) : Y --> U. K )
10	3, 7, 8, 9	syl3anc 1233	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> ( x F y ) ) : Y --> U. K )
11		eqid 2170	. . . . . 6 |- ( y e. Y |-> ( x F y ) ) = ( y e. Y |-> ( x F y ) )
12	11	fmpt 5646	. . . . 5 |- ( A. y e. Y ( x F y ) e. U. K <-> ( y e. Y |-> ( x F y ) ) : Y --> U. K )
13	10, 12	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. Y ( x F y ) e. U. K )
14	13	ralrimiva 2543	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y ( x F y ) e. U. K )
15		ffnov 5957	. . 3 |- ( F : ( X X. Y ) --> U. K <-> ( F Fn ( X X. Y ) /\ A. x e. X A. y e. Y ( x F y ) e. U. K ) )
16	1, 14, 15	sylanbrc 415	. 2 |- ( ph -> F : ( X X. Y ) --> U. K )
17		cnvimass 4974	. . . . . . . 8 |- ( `' F " u ) C_ dom F
18	1	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> F Fn ( X X. Y ) )
19		fndm 5297	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( X X. Y ) -> dom F = ( X X. Y ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> dom F = ( X X. Y ) )
21	17, 20	sseqtrid 3197	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( `' F " u ) C_ ( X X. Y ) )
22		relxp 4720	. . . . . . 7 |- Rel ( X X. Y )
23		relss 4698	. . . . . . 7 |- ( ( `' F " u ) C_ ( X X. Y ) -> ( Rel ( X X. Y ) -> Rel ( `' F " u ) ) )
24	21, 22, 23	mpisyl 1439	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> Rel ( `' F " u ) )
25		elpreima 5615	. . . . . . . 8 |- ( F Fn ( X X. Y ) -> ( <. x , z >. e. ( `' F " u ) <-> ( <. x , z >. e. ( X X. Y ) /\ ( F ` <. x , z >. ) e. u ) ) )
26	18, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( <. x , z >. e. ( `' F " u ) <-> ( <. x , z >. e. ( X X. Y ) /\ ( F ` <. x , z >. ) e. u ) ) )
27		opelxp 4641	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , z >. e. ( X X. Y ) <-> ( x e. X /\ z e. Y ) )
28		df-ov 5856	. . . . . . . . . . 11 |- ( x F z ) = ( F ` <. x , z >. )
29	28	eqcomi 2174	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` <. x , z >. ) = ( x F z )
30	29	eleq1i 2236	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` <. x , z >. ) e. u <-> ( x F z ) e. u )
31	27, 30	anbi12i 457	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , z >. e. ( X X. Y ) /\ ( F ` <. x , z >. ) e. u ) <-> ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) )
32		simprll 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> x e. X )
33		snelpwi 4197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X -> { x } e. ~P X )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> { x } e. ~P X )
35	11	mptpreima 5104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' ( y e. Y |-> ( x F y ) ) " u ) = { y e. Y | ( x F y ) e. u }
36	8	adantrr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. Y ) ) -> ( y e. Y |-> ( x F y ) ) e. ( J Cn K ) )
37	36	ad2ant2r 506	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> ( y e. Y |-> ( x F y ) ) e. ( J Cn K ) )
38		simplr 525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> u e. K )
39		cnima 13014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Y |-> ( x F y ) ) e. ( J Cn K ) /\ u e. K ) -> ( `' ( y e. Y |-> ( x F y ) ) " u ) e. J )
40	37, 38, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> ( `' ( y e. Y |-> ( x F y ) ) " u ) e. J )
41	35, 40	eqeltrrid 2258	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> { y e. Y | ( x F y ) e. u } e. J )
42		simprlr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> z e. Y )
43		simprr 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> ( x F z ) e. u )
44		vsnid 3615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. { x }
45		opelxp 4641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. x , z >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) <-> ( x e. { x } /\ z e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) )
46	44, 45	mpbiran 935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. x , z >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) <-> z e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } )
47		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( x F y ) = ( x F z ) )
48	47	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( ( x F y ) e. u <-> ( x F z ) e. u ) )
49	48	elrab 2886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } <-> ( z e. Y /\ ( x F z ) e. u ) )
50	46, 49	bitri 183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. x , z >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) <-> ( z e. Y /\ ( x F z ) e. u ) )
51	42, 43, 50	sylanbrc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> <. x , z >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) )
52		relxp 4720	. . . . . . . . . . . . 13 |- Rel ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } )
53	52	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> Rel ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) )
54		opelxp 4641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. n , m >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) <-> ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) )
55	32	snssd 3725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> { x } C_ X )
56	55	sselda 3147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ n e. { x } ) -> n e. X )
57	56	adantrr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> n e. X )
58		elrabi 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } -> m e. Y )
59	58	ad2antll 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> m e. Y )
60	57, 59	opelxpd 4644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> <. n , m >. e. ( X X. Y ) )
61		df-ov 5856	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n F m ) = ( F ` <. n , m >. )
62		elsni 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. { x } -> n = x )
63	62	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> n = x )
64	63	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> ( n F m ) = ( x F m ) )
65	61, 64	eqtr3id 2217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> ( F ` <. n , m >. ) = ( x F m ) )
66		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = m -> ( x F y ) = ( x F m ) )
67	66	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = m -> ( ( x F y ) e. u <-> ( x F m ) e. u ) )
68	67	elrab 2886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } <-> ( m e. Y /\ ( x F m ) e. u ) )
69	68	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } -> ( x F m ) e. u )
70	69	ad2antll 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> ( x F m ) e. u )
71	65, 70	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> ( F ` <. n , m >. ) e. u )
72		elpreima 5615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn ( X X. Y ) -> ( <. n , m >. e. ( `' F " u ) <-> ( <. n , m >. e. ( X X. Y ) /\ ( F ` <. n , m >. ) e. u ) ) )
73	1, 72	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( <. n , m >. e. ( `' F " u ) <-> ( <. n , m >. e. ( X X. Y ) /\ ( F ` <. n , m >. ) e. u ) ) )
74	73	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> ( <. n , m >. e. ( `' F " u ) <-> ( <. n , m >. e. ( X X. Y ) /\ ( F ` <. n , m >. ) e. u ) ) )
75	60, 71, 74	mpbir2and 939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> <. n , m >. e. ( `' F " u ) )
76	75	ex 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> ( ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) -> <. n , m >. e. ( `' F " u ) ) )
77	54, 76	syl5bi 151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> ( <. n , m >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) -> <. n , m >. e. ( `' F " u ) ) )
78	53, 77	relssdv 4703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) C_ ( `' F " u ) )
79		xpeq1 4625	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = { x } -> ( a X. b ) = ( { x } X. b ) )
80	79	eleq2d 2240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = { x } -> ( <. x , z >. e. ( a X. b ) <-> <. x , z >. e. ( { x } X. b ) ) )
81	79	sseq1d 3176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = { x } -> ( ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) <-> ( { x } X. b ) C_ ( `' F " u ) ) )
82	80, 81	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = { x } -> ( ( <. x , z >. e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) <-> ( <. x , z >. e. ( { x } X. b ) /\ ( { x } X. b ) C_ ( `' F " u ) ) ) )
83		xpeq2 4626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = { y e. Y | ( x F y ) e. u } -> ( { x } X. b ) = ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) )
84	83	eleq2d 2240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = { y e. Y | ( x F y ) e. u } -> ( <. x , z >. e. ( { x } X. b ) <-> <. x , z >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) )
85	83	sseq1d 3176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = { y e. Y | ( x F y ) e. u } -> ( ( { x } X. b ) C_ ( `' F " u ) <-> ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) C_ ( `' F " u ) ) )
86	84, 85	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = { y e. Y | ( x F y ) e. u } -> ( ( <. x , z >. e. ( { x } X. b ) /\ ( { x } X. b ) C_ ( `' F " u ) ) <-> ( <. x , z >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) /\ ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) C_ ( `' F " u ) ) ) )
87	82, 86	rspc2ev 2849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { x } e. ~P X /\ { y e. Y | ( x F y ) e. u } e. J /\ ( <. x , z >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) /\ ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) C_ ( `' F " u ) ) ) -> E. a e. ~P X E. b e. J ( <. x , z >. e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) )
88	34, 41, 51, 78, 87	syl112anc 1237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> E. a e. ~P X E. b e. J ( <. x , z >. e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) )
89		vex 2733	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
90		vex 2733	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
91	89, 90	opex 4214	. . . . . . . . . . 11 |- <. x , z >. e. _V
92		eleq1 2233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = <. x , z >. -> ( v e. ( a X. b ) <-> <. x , z >. e. ( a X. b ) ) )
93	92	anbi1d 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = <. x , z >. -> ( ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) <-> ( <. x , z >. e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) ) )
94	93	2rexbidv 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = <. x , z >. -> ( E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) <-> E. a e. ~P X E. b e. J ( <. x , z >. e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) ) )
95	91, 94	elab 2874	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , z >. e. { v | E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) } <-> E. a e. ~P X E. b e. J ( <. x , z >. e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) )
96	88, 95	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> <. x , z >. e. { v | E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) } )
97	96	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) -> <. x , z >. e. { v | E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) } ) )
98	31, 97	syl5bi 151	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( ( <. x , z >. e. ( X X. Y ) /\ ( F ` <. x , z >. ) e. u ) -> <. x , z >. e. { v | E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) } ) )
99	26, 98	sylbid 149	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( <. x , z >. e. ( `' F " u ) -> <. x , z >. e. { v | E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) } ) )
100	24, 99	relssdv 4703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( `' F " u ) C_ { v | E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) } )
101		ssabral 3218	. . . . 5 |- ( ( `' F " u ) C_ { v | E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) } <-> A. v e. ( `' F " u ) E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) )
102	100, 101	sylib 121	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> A. v e. ( `' F " u ) E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) )
103		txdis1cn.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
104		distopon 12881	. . . . . . 7 |- ( X e. V -> ~P X e. (TopOn ` X ) )
105	103, 104	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ~P X e. (TopOn ` X ) )
106	105	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ~P X e. (TopOn ` X ) )
107	2	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> J e. (TopOn ` Y ) )
108		eltx 13053	. . . . 5 |- ( ( ~P X e. (TopOn ` X ) /\ J e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( `' F " u ) e. ( ~P X tX J ) <-> A. v e. ( `' F " u ) E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) ) )
109	106, 107, 108	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( ( `' F " u ) e. ( ~P X tX J ) <-> A. v e. ( `' F " u ) E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) ) )
110	102, 109	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( `' F " u ) e. ( ~P X tX J ) )
111	110	ralrimiva 2543	. 2 |- ( ph -> A. u e. K ( `' F " u ) e. ( ~P X tX J ) )
112		txtopon 13056	. . . 4 |- ( ( ~P X e. (TopOn ` X ) /\ J e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ~P X tX J ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
113	105, 2, 112	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( ~P X tX J ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
114		iscn 12991	. . 3 |- ( ( ( ~P X tX J ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) ) -> ( F e. ( ( ~P X tX J ) Cn K ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> U. K /\ A. u e. K ( `' F " u ) e. ( ~P X tX J ) ) ) )
115	113, 6, 114	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( ( ~P X tX J ) Cn K ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> U. K /\ A. u e. K ( `' F " u ) e. ( ~P X tX J ) ) ) )
116	16, 111, 115	mpbir2and 939	1 |- ( ph -> F e. ( ( ~P X tX J ) Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   {csn 3583   <.cop 3586   U.cuni 3796   |-> cmpt 4050   X. cxp 4609   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   "cima 4614   Rel wrel 4616   Fn wfn 5193   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   Cn ccn 12979   tX ctx 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-topgen 12600  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-cn 12982  df-tx 13047

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