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Theorem txdis1cn 12487
 Description: A function is jointly continuous on a discrete left topology iff it is continuous as a function of its right argument, for each fixed left value. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txdis1cn.x
txdis1cn.j TopOn
txdis1cn.k
txdis1cn.f
txdis1cn.1
Assertion
Ref Expression
txdis1cn
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)

Proof of Theorem txdis1cn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txdis1cn.f . . 3
2 txdis1cn.j . . . . . . 7 TopOn
32adantr 274 . . . . . 6 TopOn
4 txdis1cn.k . . . . . . . 8
5 toptopon2 12226 . . . . . . . 8 TopOn
64, 5sylib 121 . . . . . . 7 TopOn
76adantr 274 . . . . . 6 TopOn
8 txdis1cn.1 . . . . . 6
9 cnf2 12414 . . . . . 6 TopOn TopOn
103, 7, 8, 9syl3anc 1217 . . . . 5
11 eqid 2140 . . . . . 6
1211fmpt 5578 . . . . 5
1310, 12sylibr 133 . . . 4
1413ralrimiva 2508 . . 3
15 ffnov 5883 . . 3
161, 14, 15sylanbrc 414 . 2
17 cnvimass 4910 . . . . . . . 8
181adantr 274 . . . . . . . . 9
19 fndm 5230 . . . . . . . . 9
2018, 19syl 14 . . . . . . . 8
2117, 20sseqtrid 3152 . . . . . . 7
22 relxp 4656 . . . . . . 7
23 relss 4634 . . . . . . 7
2421, 22, 23mpisyl 1423 . . . . . 6
25 elpreima 5547 . . . . . . . 8
2618, 25syl 14 . . . . . . 7
27 opelxp 4577 . . . . . . . . 9
28 df-ov 5785 . . . . . . . . . . 11
2928eqcomi 2144 . . . . . . . . . 10
3029eleq1i 2206 . . . . . . . . 9
3127, 30anbi12i 456 . . . . . . . 8
32 simprll 527 . . . . . . . . . . . 12
33 snelpwi 4142 . . . . . . . . . . . 12
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . . 11
3511mptpreima 5040 . . . . . . . . . . . 12
368adantrr 471 . . . . . . . . . . . . . 14
3736ad2ant2r 501 . . . . . . . . . . . . 13
38 simplr 520 . . . . . . . . . . . . 13
39 cnima 12429 . . . . . . . . . . . . 13
4037, 38, 39syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12
4135, 40eqeltrrid 2228 . . . . . . . . . . 11
42 simprlr 528 . . . . . . . . . . . 12
43 simprr 522 . . . . . . . . . . . 12
44 vsnid 3564 . . . . . . . . . . . . . 14
45 opelxp 4577 . . . . . . . . . . . . . 14
4644, 45mpbiran 925 . . . . . . . . . . . . 13
47 oveq2 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847eleq1d 2209 . . . . . . . . . . . . . 14
4948elrab 2844 . . . . . . . . . . . . 13
5046, 49bitri 183 . . . . . . . . . . . 12
5142, 43, 50sylanbrc 414 . . . . . . . . . . 11
52 relxp 4656 . . . . . . . . . . . . 13
5352a1i 9 . . . . . . . . . . . 12
54 opelxp 4577 . . . . . . . . . . . . 13
5532snssd 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655sselda 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5756adantrr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
58 elrabi 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5958ad2antll 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6057, 59opelxpd 4580 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 df-ov 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 elsni 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6362ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6463oveq1d 5797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6561, 64syl5eqr 2187 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 oveq2 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6766eleq1d 2209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6867elrab 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6968simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7069ad2antll 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7165, 70eqeltrd 2217 . . . . . . . . . . . . . . 15
72 elpreima 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
731, 72syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15
7560, 71, 74mpbir2and 929 . . . . . . . . . . . . . 14
7675ex 114 . . . . . . . . . . . . 13
7754, 76syl5bi 151 . . . . . . . . . . . 12
7853, 77relssdv 4639 . . . . . . . . . . 11
79 xpeq1 4561 . . . . . . . . . . . . . 14
8079eleq2d 2210 . . . . . . . . . . . . 13
8179sseq1d 3131 . . . . . . . . . . . . 13
8280, 81anbi12d 465 . . . . . . . . . . . 12
83 xpeq2 4562 . . . . . . . . . . . . . 14
8483eleq2d 2210 . . . . . . . . . . . . 13
8583sseq1d 3131 . . . . . . . . . . . . 13
8684, 85anbi12d 465 . . . . . . . . . . . 12
8782, 86rspc2ev 2808 . . . . . . . . . . 11
8834, 41, 51, 78, 87syl112anc 1221 . . . . . . . . . 10
89 vex 2692 . . . . . . . . . . . 12
90 vex 2692 . . . . . . . . . . . 12
9189, 90opex 4159 . . . . . . . . . . 11
92 eleq1 2203 . . . . . . . . . . . . 13
9392anbi1d 461 . . . . . . . . . . . 12
94932rexbidv 2463 . . . . . . . . . . 11
9591, 94elab 2832 . . . . . . . . . 10
9688, 95sylibr 133 . . . . . . . . 9
9796ex 114 . . . . . . . 8
9831, 97syl5bi 151 . . . . . . 7
9926, 98sylbid 149 . . . . . 6
10024, 99relssdv 4639 . . . . 5
101 ssabral 3173 . . . . 5
102100, 101sylib 121 . . . 4
103 txdis1cn.x . . . . . . 7
104 distopon 12296 . . . . . . 7 TopOn
105103, 104syl 14 . . . . . 6 TopOn
106105adantr 274 . . . . 5 TopOn
1072adantr 274 . . . . 5 TopOn
108 eltx 12468 . . . . 5 TopOn TopOn
109106, 107, 108syl2anc 409 . . . 4
110102, 109mpbird 166 . . 3
111110ralrimiva 2508 . 2
112 txtopon 12471 . . . 4 TopOn TopOn TopOn
113105, 2, 112syl2anc 409 . . 3 TopOn
114 iscn 12406 . . 3 TopOn TopOn
115113, 6, 114syl2anc 409 . 2
11616, 111, 115mpbir2and 929 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481  cab 2126  wral 2417  wrex 2418  crab 2421   wss 3076  cpw 3515  csn 3532  cop 3535  cuni 3744   cmpt 3997   cxp 4545  ccnv 4546   cdm 4547  cima 4550   wrel 4552   wfn 5126  wf 5127  cfv 5131  (class class class)co 5782  ctop 12204  TopOnctopon 12217   ccn 12394   ctx 12461 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-map 6552  df-topgen 12181  df-top 12205  df-topon 12218  df-bases 12250  df-cn 12397  df-tx 12462 This theorem is referenced by: (None)
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