Theorem snexg 4186

Description: A singleton whose element exists is a set. The A e. _V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	|- ( A e. V -> { A } e. _V )

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4182	. 2 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
2		snsspw 3766	. . 3 |- { A } C_ ~P A
3		ssexg 4144	. . 3 |- ( ( { A } C_ ~P A /\ ~P A e. _V ) -> { A } e. _V )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( ~P A e. _V -> { A } e. _V )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( A e. V -> { A } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577   {csn 3594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600

This theorem is referenced by:  snex  4187  notnotsnex  4189  exmidsssnc  4205  snelpwi  4214  opexg  4230  opm  4236  tpexg  4446  op1stbg  4481  sucexb  4498  elxp4  5118  elxp5  5119  opabex3d  6124  opabex3  6125  1stvalg  6145  2ndvalg  6146  mpoexxg  6213  cnvf1o  6228  brtpos2  6254  tfr0dm  6325  tfrlemisucaccv  6328  tfrlemibxssdm  6330  tfrlemibfn  6331  tfr1onlemsucaccv  6344  tfr1onlembxssdm  6346  tfr1onlembfn  6347  tfrcllemsucaccv  6357  tfrcllembxssdm  6359  tfrcllembfn  6360  fvdiagfn  6695  ixpsnf1o  6738  mapsnf1o  6739  xpsnen2g  6831  zfz1isolem1  10822  climconst2  11301  ennnfonelemp1  12409  setsvalg  12494  setsex  12496  setsslid  12515  strle1g  12567  1strbas  12578  imasex  12731  imasival  12732  imasbas  12733  imasplusg  12734  imasmulr  12735  mgm1  12794  sgrp1  12821  mnd1  12852  mnd1id  12853  grp1  12981  grp1inv  12982  triv1nsgd  13083  ring1  13241