Theorem snexg 4198

Description: A singleton whose element exists is a set. The A e. _V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	|- ( A e. V -> { A } e. _V )

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4194	. 2 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
2		snsspw 3778	. . 3 |- { A } C_ ~P A
3		ssexg 4156	. . 3 |- ( ( { A } C_ ~P A /\ ~P A e. _V ) -> { A } e. _V )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( ~P A e. _V -> { A } e. _V )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( A e. V -> { A } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2159   _Vcvv 2751   C_ wss 3143   ~Pcpw 3589   {csn 3606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-v 2753  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612

This theorem is referenced by:  snex  4199  notnotsnex  4201  exmidsssnc  4217  snelpwi  4226  opexg  4242  opm  4248  tpexg  4458  op1stbg  4493  sucexb  4510  elxp4  5130  elxp5  5131  opabex3d  6139  opabex3  6140  1stvalg  6160  2ndvalg  6161  mpoexxg  6228  cnvf1o  6243  brtpos2  6269  tfr0dm  6340  tfrlemisucaccv  6343  tfrlemibxssdm  6345  tfrlemibfn  6346  tfr1onlemsucaccv  6359  tfr1onlembxssdm  6361  tfr1onlembfn  6362  tfrcllemsucaccv  6372  tfrcllembxssdm  6374  tfrcllembfn  6375  fvdiagfn  6710  ixpsnf1o  6753  mapsnf1o  6754  xpsnen2g  6846  zfz1isolem1  10837  climconst2  11316  ennnfonelemp1  12424  setsvalg  12509  setsex  12511  setsslid  12530  strle1g  12583  1strbas  12594  imasex  12747  imasival  12748  imasbas  12749  imasplusg  12750  imasmulr  12751  mgm1  12811  sgrp1  12839  mnd1  12872  mnd1id  12873  grp1  13015  grp1inv  13016  triv1nsgd  13122  ring1  13371