Theorem snexg 4274

Description: A singleton whose element exists is a set. The A e. _V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	|- ( A e. V -> { A } e. _V )

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4270	. 2 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
2		snsspw 3847	. . 3 |- { A } C_ ~P A
3		ssexg 4228	. . 3 |- ( ( { A } C_ ~P A /\ ~P A e. _V ) -> { A } e. _V )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( ~P A e. _V -> { A } e. _V )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( A e. V -> { A } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   {csn 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675

This theorem is referenced by:  snex  4275  notnotsnex  4277  exmidsssnc  4293  snelpwg  4302  snelpwi  4303  opexg  4320  opm  4326  tpexg  4541  op1stbg  4576  sucexb  4595  elxp4  5224  elxp5  5225  opabex3d  6283  opabex3  6284  1stvalg  6305  2ndvalg  6306  mpoexxg  6375  cnvf1o  6390  brtpos2  6417  tfr0dm  6488  tfrlemisucaccv  6491  tfrlemibxssdm  6493  tfrlemibfn  6494  tfr1onlemsucaccv  6507  tfr1onlembxssdm  6509  tfr1onlembfn  6510  tfrcllemsucaccv  6520  tfrcllembxssdm  6522  tfrcllembfn  6523  fvdiagfn  6862  ixpsnf1o  6905  mapsnf1o  6906  xpsnen2g  7013  zfz1isolem1  11105  climconst2  11853  ennnfonelemp1  13029  setsvalg  13114  setsex  13116  setsslid  13135  strle1g  13191  1strbas  13202  pwsval  13376  pwsbas  13377  pwssnf1o  13383  imasex  13390  imasival  13391  imasbas  13392  imasplusg  13393  imasmulr  13394  mgm1  13455  igsumvalx  13474  sgrp1  13496  mnd1  13540  mnd1id  13541  grp1  13691  grp1inv  13692  mulgnngsum  13716  triv1nsgd  13807  ring1  14075  znval  14653  znle  14654  znbaslemnn  14656  znbas  14661  znzrhval  14664  znzrhfo  14665  psrval  14683  psrbasg  14691  psrplusgg  14695  upgr1eopdc  15977  upgr1een  15978  umgr1een  15979  uspgr1eopdc  16097  usgr1eop  16099  1loopgrvd2fi  16159  1loopgrvd0fi  16160  p1evtxdeqfilem  16165  p1evtxdeqfi  16166  p1evtxdp1fi  16167  eupth2lem3fi  16330