Theorem snexg 4280

Description: A singleton whose element exists is a set. The A e. _V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	|- ( A e. V -> { A } e. _V )

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4276	. 2 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
2		snsspw 3852	. . 3 |- { A } C_ ~P A
3		ssexg 4233	. . 3 |- ( ( { A } C_ ~P A /\ ~P A e. _V ) -> { A } e. _V )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( ~P A e. _V -> { A } e. _V )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( A e. V -> { A } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   ~Pcpw 3656   {csn 3673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679

This theorem is referenced by:  snex  4281  notnotsnex  4283  exmidsssnc  4299  snelpwg  4308  snelpwi  4309  opexg  4326  opm  4332  tpexg  4547  op1stbg  4582  sucexb  4601  elxp4  5231  elxp5  5232  opabex3d  6292  opabex3  6293  1stvalg  6314  2ndvalg  6315  mpoexxg  6384  cnvf1o  6399  suppsnopdc  6428  brtpos2  6460  tfr0dm  6531  tfrlemisucaccv  6534  tfrlemibxssdm  6536  tfrlemibfn  6537  tfr1onlemsucaccv  6550  tfr1onlembxssdm  6552  tfr1onlembfn  6553  tfrcllemsucaccv  6563  tfrcllembxssdm  6565  tfrcllembfn  6566  fvdiagfn  6905  ixpsnf1o  6948  mapsnf1o  6949  xpsnen2g  7056  fczfsuppd  7222  snopfsuppdc  7224  zfz1isolem1  11167  climconst2  11931  ennnfonelemp1  13107  setsvalg  13192  setsex  13194  setsslid  13213  strle1g  13269  1strbas  13280  pwsval  13454  pwsbas  13455  pwssnf1o  13461  imasex  13468  imasival  13469  imasbas  13470  imasplusg  13471  imasmulr  13472  mgm1  13533  igsumvalx  13552  sgrp1  13574  mnd1  13618  mnd1id  13619  grp1  13769  grp1inv  13770  mulgnngsum  13794  triv1nsgd  13885  ring1  14153  znval  14732  znle  14733  znbaslemnn  14735  znbas  14740  znzrhval  14743  znzrhfo  14744  psrval  14762  psrbasg  14775  psrplusgg  14779  upgr1eopdc  16064  upgr1een  16065  umgr1een  16066  uspgr1eopdc  16184  usgr1eop  16186  1loopgrvd2fi  16246  1loopgrvd0fi  16247  p1evtxdeqfilem  16252  p1evtxdeqfi  16253  p1evtxdp1fi  16254  eupth2lem3fi  16417