Theorem snexg 4268

Description: A singleton whose element exists is a set. The A e. _V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	|- ( A e. V -> { A } e. _V )

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4264	. 2 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
2		snsspw 3842	. . 3 |- { A } C_ ~P A
3		ssexg 4223	. . 3 |- ( ( { A } C_ ~P A /\ ~P A e. _V ) -> { A } e. _V )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( ~P A e. _V -> { A } e. _V )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( A e. V -> { A } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   {csn 3666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672

This theorem is referenced by:  snex  4269  notnotsnex  4271  exmidsssnc  4287  snelpwg  4296  snelpwi  4297  opexg  4314  opm  4320  tpexg  4535  op1stbg  4570  sucexb  4589  elxp4  5216  elxp5  5217  opabex3d  6266  opabex3  6267  1stvalg  6288  2ndvalg  6289  mpoexxg  6356  cnvf1o  6371  brtpos2  6397  tfr0dm  6468  tfrlemisucaccv  6471  tfrlemibxssdm  6473  tfrlemibfn  6474  tfr1onlemsucaccv  6487  tfr1onlembxssdm  6489  tfr1onlembfn  6490  tfrcllemsucaccv  6500  tfrcllembxssdm  6502  tfrcllembfn  6503  fvdiagfn  6840  ixpsnf1o  6883  mapsnf1o  6884  xpsnen2g  6988  zfz1isolem1  11062  climconst2  11802  ennnfonelemp1  12977  setsvalg  13062  setsex  13064  setsslid  13083  strle1g  13139  1strbas  13150  pwsval  13324  pwsbas  13325  pwssnf1o  13331  imasex  13338  imasival  13339  imasbas  13340  imasplusg  13341  imasmulr  13342  mgm1  13403  igsumvalx  13422  sgrp1  13444  mnd1  13488  mnd1id  13489  grp1  13639  grp1inv  13640  mulgnngsum  13664  triv1nsgd  13755  ring1  14022  znval  14600  znle  14601  znbaslemnn  14603  znbas  14608  znzrhval  14611  znzrhfo  14612  psrval  14630  psrbasg  14638  psrplusgg  14642  upgr1eopdc  15923